Đề bài
Cho hình 19 trong đó \[G\] là trọng tâm của tam giác\[ABC.\]Chứng minh rằng:
a] \[{S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\]
b] \[{S_{GMB}} = {S_{GMC}}\]
c] \[{S_{AGB}} = {S_{AGC}} = {S_{BGC}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Ba đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách đỉnh một đoạn bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến tương ứng.
+] Diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.
+] Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích bằng với tỉ số cạnh đáy.
Lời giải chi tiết
a]\[G\]là trọng tâm của\[ABC\]
\[ \Rightarrow GA = 2GM\][tính chất đường trung tuyến]
Ta có\[AGC\]và\[GMC\]có chung đường cao kẻ từ đỉnh\[C\]đến\[AM\] và có cạnh đáy\[GA = 2GM\]
Suy ra:\[{S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\] [1]
b] Ta có:\[GMB\]và\[GMC\]có cạnh đáy\[MB = MC,\]chung chiều cao kẻ từ đỉnh\[G\]đến cạnh\[BC\]
\[{S_{GMB}} = {S_{GMC}}\] [2]
c] Hai tam giác\[AGB\]và\[GMB\]có chung chiều cao kẻ từ đỉnh\[B\]đến cạnh\[AM.\]
Mà\[AG = 2GM\][chứng minh trên]
Suy ra: \[{S_{AGB}} = 2{{\rm{S}}_{GMB}}\left[ 3 \right] \]
Mà \[{S_{BGC}} = {S_{GMB}} + {S_{GMC}} = 2{S_{GMB}}\left[ 4 \right] \]
Từ [1], [2], [3] và [4] suy ra: \[{{\rm{S}}_{AGC}} = {S_{AGB}} = {S_{BGC}}\]