- LG a
- LG b
Tìm giới hạn của dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]với
LG a
\[{u_n} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{n^2} + 1}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán
Lời giải chi tiết:
Ta có, \[\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\]. Đặt \[{v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\] [1]
Ta có \[\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\]
Do đó, \[\left| {{v_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ [1] suy ra, \[\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\]
Vậy, \[\left| {{u_n}} \right|\]cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim {u_n} = 0\]
LG b
\[{u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}=v_n\]
\[\lim \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]}^n}}}{{1 + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\] \[ = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\]
\[ \Rightarrow {v_n} = \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}}\] nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ một số hạng nào đó trở đi
\[ \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < {v_n}\] cũng nhỏ hơn một số dương bé tuy ý từ một số hạng nào đó trở đi
\[ \Rightarrow \lim {u_n} = 0\] [theo định nghĩa]