- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:
LG a
\[\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr
{x - y = 6} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \[\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\]
+] Vẽ hai đường thẳng \[y = ax + b\] và \[y = a'x + b'\] trong cùng một hệ trục tọa độ.
+]Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.
+] Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\[ \left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr
{x - y = 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}} \cr
{y = x - 6} \cr} } \right.\]
- Vẽ đường thẳng \[y = \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = \displaystyle {7 \over 3}\] ta được \[A\left[ {0;\displaystyle{7 \over 3}} \right]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = \displaystyle{7 \over 2}\] ta được \[B\left[ {\displaystyle{7 \over 2};0} \right]\]
Đường thẳng\[y = \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[A, \ B.\]
- Vẽ đường thẳng \[y = x 6\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = - 6\] ta được \[C\left[ {0; - 6} \right]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 6\] ta được \[D\left[ {6;0} \right]\]
Đường thẳng \[y = x 6\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[C, \ D.\]
-Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng\[y = \displaystyle - {2 \over 3}x + {7 \over 3}\] và\[y = x 6\]cắt nhau tại điểm\[M [5; -1].\]
Thay \[x = 5, y = -1\] vào hệ phương trình đã cho ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}2.5 +3.[-1] = 7\\5 - [-1] =6\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 7\\ 6 = 6\end{array} \text{[luôn đúng]}\right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [5; -1]\].
LG b
\[ \left\{ {\matrix{
{3x + 2y = 13} \cr
{2x - y = - 3} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \[\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\]
+] Vẽ hai đường thẳng \[y = ax + b\] và \[y = a'x + b'\] trong cùng một hệ trục tọa độ.
+]Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.
+] Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\[\left\{ {\matrix{
{3x + 2y = 13} \cr
{2x - y = - 3} \cr} } \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {3 \over 2}x + {13 \over 2}} \cr
{y = 2x + 3} \cr} } \right. \]
- Vẽ đường thẳng \[y = \displaystyle- {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = \displaystyle{{13} \over 2} \] ta được \[E[0;\displaystyle{{13} \over 2}]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x =\displaystyle {{13} \over 3}\] ta được \[F[\left[ {\displaystyle{{13} \over 3};0} \right]\]
Đường thẳng\[y =\displaystyle- {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[E, \ F\]
- Vẽ đường thẳng \[y = 2x + 3\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 3\] ta được \[G [0; 3]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = \displaystyle- {3 \over 2}\] ta được \[H [\displaystyle- {3 \over 2}; 0]\]
Đường thẳng \[y = 2x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[G, \ H.\]
-Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng\[y =\displaystyle- {3 \over 2}x + {{13} \over 2}\] và\[y = 2x + 3\] cắt nhau tại điểm\[N [1;5].\]
Thay \[x = 1, y = 5\] vào hệ phương trình đã cho ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}3.1+2.5 = 13\\2.1 - 5 = -3\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 = 13\\ -3 = -3\end{array} \text{[luôn đúng]}\right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [1;5]\].
LG c
\[ \left\{ {\matrix{
{x + y = 1} \cr
{3x + 0y = 12} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \[\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\]
+] Vẽ hai đường thẳng \[y = ax + b\] và \[y = a'x + b'\] trong cùng một hệ trục tọa độ.
+]Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.
+] Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\[\left\{ {\matrix{
{x + y = 1} \cr
{3x + 0y = 12} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - x + 1} \cr
{x = 4} \cr} } \right.} \right.\]
- Vẽ đường thẳng \[y = -x + 1\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 1\] ta được \[I [0; 1]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 1\] ta được \[J[1; 0]\]
Đườngthẳng \[y = -x + 1\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[I, \ J\].
- Vẽ đường thẳng \[x = 4\]:
Đường thẳng \[x=4\] đi qua điểm \[K[4;0]\] và song song với trục tung.
-Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng\[y = -x + 1\] và\[x = 4\] cắt nhau tại điểm\[L [4;-3].\]
Thay \[x = 4, y = -3\] vào hệ phương trình đã cho ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}4+[-3]=1\\3.4+0.[-3]=12\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1= 1\\ 12 = 12\end{array} \text{[luôn đúng]}\right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [4;-3]\].
LG d
\[\left\{ {\matrix{
{x + 2y = 6} \cr
{0x - 5y = 10} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Ta biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng \[\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\]
+] Vẽ hai đường thẳng \[y = ax + b\] và \[y = a'x + b'\] trong cùng một hệ trục tọa độ.
+]Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã cho dựa vào hình vẽ.
+] Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\[\left\{ {\matrix{
{x + 2y = 6} \cr
{0x - 5y = 10} \cr} }\right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3}\cr
{y = -2} \cr} } \right. \]
- Vẽ đường thẳng \[y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\]:
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 3\] ta được \[P[0; 3]\]
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 6\] ta được \[Q [6; 0]\]
Đường thẳng\[y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[P, \ Q\].
- Vẽ đường thẳng \[y = -2\]:
Đường thẳng \[y = -2\] đi qua điểm \[R[0;-2]\] và song song với trục hoành.
- Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng \[y = \displaystyle - {1 \over 2}x + 3\]và\[y = -2\] cắt nhau tại điểm\[T [10;-2].\]
Thay \[x = 10, y = -2\] vào hệ phương trình đã cho ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}10+2.[-2]=6\\0.10-5.[-2]=10\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6=6\\ 10 = 10\end{array} \text{[luôn đúng]}\right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [10;-2]\].