Đề bài
Hai dây cung \[AB\] và \[CD\] kéo dài cắt nhau tại điểm \[E\] ở ngoài đường tròn \[[O]\] \[[B\] nằm giữa \[A\] và \[E,\] \[C\] nằm giữa \[D\] và \[E].\] Cho biết \[\widehat {CBE} =75^o,\]\[\widehat {CEB} = {22^o},\] \[\widehat {AOD} = {144^o}.\] Chứng minh \[\widehat {AOB} = \widehat {BAC}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Lời giải chi tiết
Trong đường tròn \[[O]\] ta có \[\widehat E \] là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\[\widehat E = \displaystyle {1 \over 2} [sđ \overparen{AD} - sđ \overparen{BC}\]]
Lại có: \[sđ \overparen{AD}= \widehat {AOD} = 144^\circ\]
\[ \Rightarrow22^\circ =\displaystyle {{144^\circ - sđ \overparen{BC}} \over 2}\]
\[\Rightarrow sđ \overparen{BC}= 144^\circ- 2.22^\circ = 100^\circ\]
Ta có: \[\widehat {BAC} = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{BC}\] [tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat {BAC} = \displaystyle{1 \over 2}.100^\circ = 50^\circ \]
Trong \[ABC\] ta có \[\widehat {CBE}\] là góc ngoài tại đỉnh \[B.\]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat {CBE} = \widehat {BAC} + \widehat {ACB}\][tính chất góc ngoài của tam giác]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat {ACB} = \widehat {CBE} - \widehat {BAC}\]\[ = 75^\circ - 50^\circ = 25^\circ \]
\[\widehat {ACB} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\] [hệ quả góc nội tiếp]
\[\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB} = 50^\circ \]
Vậy \[\widehat {AOB} = \widehat {BAC} = 50^\circ \]