Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[E, F, G, H\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB, BC, CD, DA.\] Các đường chéo \[AC, BD\] của tứ giác \[ABCD\] có điều kiện gì thì \[EFGH\] là:
a] Hình chữ nhật?
b] Hình thoi?
c] Hình vuông?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Trước hết ta chứng minh \[EF//GH//AC,\,EH//FG//BD,\] \[EF=HG=\dfrac{1}{2}AC,\] \[EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\]
Thật vậy: \[\Delta ABC\] có \[EB = EA, FB = FC\]
Suy ra \[EF //AC, EF = \dfrac{1}{2}AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[\Delta ADC\] có \[HD = HA, GD = GC\]
Suy ra \[HG // AC, HG = \dfrac{1}{2}AC\]
Do đó \[EF //HG//AC\].
Chứng minh tương tự ta có \[EH//FG//BD\].
Ta có:
\[EF = \dfrac{1}{2}AC\] [chứng minh trên]
\[HG = \dfrac{1}{2}AC\] [chứng minh trên]
Do đó\[EF=HG=\dfrac{1}{2}AC\].
Chứng minh tương tự\[EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\].
a] Theo chứng minh trên, \[EFGH\] là hình bình hành có \[EF//AC; EH//BD\].
Do đó:
Hình bình hành\[EFGH\] là hình chữ nhật \[EF EH AC BD\]
b] Theo chứng minh trên, \[EFGH\] là hình bình hành có \[EF = \dfrac{1}{2}AC,EH = \dfrac{1}{2}BD\]. Do đó: Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì
Hình bình hành \[EFGH\] là hình thoi \[ EF = EHAC = BD\]
c] \[EFGH\] là hình vuông\[\] \[EFGH\] vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
\[\Rightarrow AC BD\] và \[AC = BD\].
Giải thích:\[EH//FG//BD\] và\[EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\].
\[EB = EA, AH = HD\] [gt]
Do đó \[EH\]là đường trung bình của tam giác \[ABD\].
Suy ra \[EH //BD, EH = \dfrac{1}{2}BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[CF = FB, GD = GC\] [gt]
Do đó \[FG\]là đường trung bình của tam giác \[BDC\].
Suy ra \[FG // BD, FG = \dfrac{1}{2} BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác]