Đề bài
Trong mặt phẳng \[[\alpha ]\]cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \[[\alpha ]\]ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \[[\beta ]\]đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \[[\beta ]\]cắt SB, SC, SD lần lượt tại B, C, D.
a] Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B, C, D luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b] Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng mình các điểm B, D, B', C', D' cùng nhìn AC một góc \[90^0\].
b] Công thức tính diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2}\].
Công thức tính thể tích khối cầu: \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\displaystyle \left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\RightarrowBC \bot [SAB] \] \[\displaystyle \RightarrowBC \bot AB'\]
Ta lại có \[\displaystyle AB' \bot SC\]nên suy ra \[\displaystyle AB' \bot [SBC]\]. Do đó\[\displaystyle AB' \bot B'C\]
Chứng minh tương tự ta có \[\displaystyle AD' \bot D'C\].
Vậy \[\displaystyle \widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} \] \[\displaystyle = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\]
Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.
b] Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có\[\displaystyle r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy \[\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {[{{a\sqrt 2 } \over 2}]^2} = 2\pi {a^2}\]và\[\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\] \[\displaystyle = {4 \over 3}\pi {[{{a\sqrt 2 } \over 2}]^3} \] \[\displaystyle = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \]