- LG a
- LG b
Tìm số phức \[z\], biết:
LG a
\[\overline z = {z^3}\]
Phương pháp giải:
Nhân cả hai vế với \[z\] và đặt \[z = a + bi\], biến đổi phương trình suy ra \[a,b\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[z\overline z = {\left| z \right|^2}\] nên từ \[\overline z = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}\]
Đặt \[z = a+ bi\], suy ra:
\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = {\left[ {a + bi} \right]^4} = {\left[ {{{\left[ {a + bi} \right]}^2}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left[ {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left[ {2abi} \right]^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}.2abi + 2{a^2}.2abi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 4{a^2}{b^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 4a{b^3}bi + 4{a^3}bi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left[ {{a^2} - {b^2}} \right]i\\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left[ {{a^2} - {b^2}} \right]i = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{a^2}{b^2}\left[ {{a^2} - {b^2}} \right] = 0\,\,\left[ 1 \right]\\
{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} = 0\,\,\left[ 2 \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 0\\
{b^2} = 0\\
{a^2} - {b^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0\\
{a^2} = {b^2}
\end{array} \right.\]
+] Nếu \[a = 0\] thay vào \[\left[ 2 \right]\] được \[{b^4} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2}\left[ {{b^2} - 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \pm 1\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = i\\z = - i\end{array} \right.\]
+] Nếu \[b = 0\] thay vào \[\left[ 2 \right]\] ta được \[{a^4} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2}\left[ {{a^2} - 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 1\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = \pm 1\end{array} \right.\]
+] Nếu \[{a^2} = {b^2}\] thay vào \[\left[ 2 \right]\] ta được:
\[{a^4} + {a^4} - 6{a^4} - {a^2} - {a^2} = 0\]\[ \Leftrightarrow - 4{a^4} - 2{a^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow - 2{a^2}\left[ {2{a^2} + 1} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\]
[vì \[2{a^2} + 1 > 0,\forall a\] ]
\[ \Rightarrow b = a = 0 \Rightarrow z = 0\]
Vậy các số phức cần tìm là \[z = 0,z = \pm 1,z = \pm i\].
LG b
\[|z| + z = 3 + 4i\]
Phương pháp giải:
Đặt \[z = a + bi\] thay vào điều kiện bài cho tìm \[a,b\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[z = a + bi\]. Từ \[\left| z \right| + z = 3 + 4i\;\]suy ra
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a - 3 + \left[ {b - 4} \right]i = 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a - 3 = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.\]
Ta có: \[b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4\] thay vào phương trình trên ta được:
\[\sqrt {{a^2} + 16} + a - 3 = 0\] \[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 16} = 3 - a\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a \ge 0\\{a^2} + 16 = 9 - 6a + {a^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = - \dfrac{7}{6}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow a = - \dfrac{7}{6}\]
\[ \Rightarrow z = - \dfrac{7}{6} + 4i\]
Vậy \[z = - \dfrac{7}{6} + 4i\].