Đề bài
Cho mặt phẳng \[[\alpha ]\] : 2x + y +z 1 = 0 và đường thẳng d: \[\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\]
Gọi M là giao điểm của d và \[[\alpha ]\], hãy viết phương trình của đường thẳng \[\Delta \] đi qua M vuông góc với d và nằm trong \[[\alpha ]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm giao điểm của \[d\] và \[\left[ \alpha \right]\].
- Đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với \[d\] và nằm trong \[\left[ \alpha \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} } \right]\]
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = - 2 - 3t}\end{array}} \right.\]
Xét phương trình \[2[1 + 2t] + t + [ - 2 3t] 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow 2t - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\]
Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \[[\alpha ]\] tại điểm \[M\left[ {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right]\].
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \[[\alpha ]\] và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [2;1;1]\] và \[\overrightarrow {{u_d}} = [2;1; - 3]\].
Gọi \[\overrightarrow {{u_\Delta }} \] là vecto pháp tuyến của \[\Delta \], ta có \[\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \] và \[\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \].
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left[ { - 4;8;0} \right]\] nên chọn \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {1; - 2;0} \right]\]
Vậy phương trình tham số của \[\Delta \] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = \dfrac{1}{2} - 2t}\\{z = - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\]