Đề bài
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]. Gọi \[\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,\] \[\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,\] \[\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a \].
Chứng tỏ rằng ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \[\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \].
Lời giải chi tiết
Giả sử có \[\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \]
\[2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a = p[\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ] + q[3\overrightarrow b - \overrightarrow c ] \]
\[\Leftrightarrow [3 + p]\overrightarrow a + [3q - 2p]\overrightarrow b - [q + 2]\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \][1]
Vì ba vecto \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] lấy tùy ý nên đẳng thức [1] xảy ra khi và chỉ khi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + p = 0}\\{3q - 2p = 0}\\{q + 2 = 0}\end{array}} \right. \] \[\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p = - 3}\\{q = - 2}\end{array}} \right.\]
Như vậy ta có: \[\overrightarrow {\rm{w}} = - 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \] nên ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.