Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm; AC = 4cm, phân giác của hai góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ IH, IK lần lượt vuông góc với AB và AC. Tính khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Định lý Py-ta-go
+Tính chất đường phân giác
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\] [cm] [định lý Pytago].
AI là phân giác của \[\widehat A\] \[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2} = \dfrac{{\widehat A}}{2} = {45^0}.\]
Do đó \[\Delta AHI\] và \[\Delta AKI\] là các tam giác vuông cân \[ \Rightarrow AH = IH\] và \[AK = IK.\]
Mặt khác vì I thuộc phân giác góc A nên \[IH = IK \Rightarrow IH = IK = AK = AH.\]
Kẻ \[I{\rm{D}} \bot BC\], ta cũng có \[I{\rm{D}} = IH\] [do hai tam giác BHI và BDI bằng nhau [cạnh huyền-góc nhọn]]
Gọi ba cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC lần lượt là a, b, c. Đặt \[AH = x\] thì \[AH=AK=IH=IK=ID=x\]
Ta có \[BH+HA=AB\] hay \[BH=AB-AH=c-x\]
Suy ra \[BH = B{\rm{D}} = c - x\];
Tương tự \[CK = C{\rm{D}} = b - x,\] mà \[a = B{\rm{D}} + C{\rm{D}}\] nên \[a = c - x + b - x \]
\[\Rightarrow x = \dfrac{{b + c - a} }{ 2} = \dfrac{{4 + 3 - 5} }{2} = 1\] [cm].
Vậy \[HI = I{\rm{D}} = IK = x = 1\] [cm].
Cách 2:
\[IH = IK = I{\rm{D}} = x;\]\[\;{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC} }{ 2} = 6.\]
\[\eqalign{ {S_{\Delta ABC}} &= {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta AIB}} + {S_{\Delta BIC}} \cr&= {1 \over 2}IK.AC + {1 \over 2}IA.AB \cr & {\rm{ }} = {x \over 2}[ac + ab + bc] = 6x \cr} \]
\[\Rightarrow 6x=6 \Rightarrow x = 1. \]