- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh:
LG a
\[\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}};\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right],\\\sin \dfrac{{4\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right],\\\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \pi } \right]\end{array}\]
Từ đó
\[\begin{array}{l}\left[ {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right]\sin \dfrac{\pi }{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right] = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\end{array}\]
Do \[\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}},\] ta suy ra
\[\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}.\]
LG b
\[\cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\]
\[= \dfrac{1}{2}\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k = 1,2,3,4,5\] ta có:
\[\cos \dfrac{{\left[ {2k - 1} \right]\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\]
\[= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left[ {2k - 2} \right]\pi }}{{11}}} \right]\],
nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b] thì
\[\begin{array}{l}B\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left[ {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right] + \left[ {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right]} \right.\\\left. { + \ldots + \left[ {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right]} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\]
Từ đó \[B = \dfrac{1}{2}.\]
LG c
\[\cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}\]
\[= - \dfrac{1}{2}\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k = 1,2,3,4,5\] ta có
\[\cos \dfrac{{2k\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\]
\[= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left[ {2k - 1} \right]\pi }}{{11}}} \right]\] nên gọi C là vế trái của đẳng thức câu c] thì
\[\begin{array}{l}C\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left[ {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right] + \left[ {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right]} \right.\\ + \ldots + \left. {\left[ {\sin \pi - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right]} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\]
Từ đó \[C = - \dfrac{1}{2}.\]
LG d
\[\sin \dfrac{\pi }{{11}} + \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \ldots + \sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi D là vế trái của bất đẳng thức câu d thì [ở đây \[n = 10,\alpha = \dfrac{\pi }{{11}}\]]
\[D\sin \dfrac{\pi }{{22}} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}}\sin \dfrac{\pi }{2} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}} = \cos \dfrac{\pi }{{22}}\]
Từ đó \[D = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\]