- LG a
- LG b
Chứng minh rằng
LG a
\[{a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}\] với mọi a, b R.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left[ {{\rm{a}} - b} \right] + {b^3}\left[ {b - a} \right]\\ = \left[ {{\rm{a}} - b} \right]\left[ {{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right]\\ = {\left[ {{\rm{a}} - b} \right]^2}\left[ {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right] \ge 0.\end{array}\]
[Vì \[{a^2} + {b^2} + ab = {\left[ {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right]^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\] và \[{\left[ {{\rm{a}} - b} \right]^2} \ge 0\] với mọi a, b R]
LG b
\[{\left[ {{\rm{a}} + b + c} \right]^2} \le 3\left[ {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\] với mọi a, b, c R.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}{\left[ {{\rm{a}} + b + c} \right]^2} \le 3\left[ {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{a}} - b} \right]^2} + {\left[ {b - c} \right]^2} + {\left[ {c - a} \right]^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array}\]
Bất đẳng thức [2] luôn đúng nên bất đẳng thức [1] được chứng minh.