Đề bài
Trên hình 86, cạnh \[DC\] của hình chữ nhật \[ABCD\] được chia thành \[n\] đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \[C_1, C_2,,C_{n-1}\]; cạnh \[AD\] cũng được chia thành \[n\] đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \[D_1, D_2,,D_{n-1}\]. Gọi \[I_k\]là giao điểm của đoạn thẳng \[AC_k\]với đoạn thẳng \[BD_k\]. Chứng minh rằng các điểm \[I_k\][\[k=1,2,,n-1\]] nằm trên elip có trục lớn là cạnh \[AB\], độ dài trục bé bằng chiều rộng \[AD\] của hình chữ nhật \[ABCD\].
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] có: trục \[Ox\] đi qua \[A, B;\] trục \[Oy\] là đường trung trực của \[AB\]. Đặt \[AB=2a, AD=2b\]. Hãy tìm tọa độ của \[I_k\]và chứng minh \[I_k\]nằm trên elip có phương trình \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].