Đề bài
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho D nằm giữa B và E và BD = CE. Qua D và E vẽ DF và EH song song với AB. [F và H thuộc AC].
Chứng minh rằng: AB = DF + EH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh BK=DF và AK=HE
Lời giải chi tiết
Kẻ FK // BC, nối K với D. Ta có \[ \Rightarrow AB = DF + EH.\] \[\widehat {{K_2}} = \widehat {{D_1}}\] [1] [cặp góc so le trong].
Lại có DF //AB [giả thiết] \[ \Rightarrow \widehat {{K_1}} = \widehat {{D_1}}\] [2]
Xét \[\Delta KBD\] và \[\Delta DFK\]có [1], [2] và KD cạnh chung.
Do đó \[\Delta KBD=\Delta DFK\][g.c.g].
\[ \Rightarrow BK = DF\] [3] và \[BD= KF\] [cạnh tương ứng],
Mà \[BD = CE\] [giả thiết] \[ \Rightarrow KF = CE\] [4].
Mặt khác KF // BC \[ \Rightarrow \widehat {AFK} = \widehat {ACB}\] [5] [cặp góc đồng vị].
Tương tự \[\widehat {AFK} = \widehat {ABC}\].
Lại có HE // AB [giả thiết] \[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {HEC}\] [6]
\[ \Rightarrow \widehat {AKF} = \widehat {HEC}\] [6]
Từ [4], [5] và [6] ta có \[\Delta AKF = \Delta HEC\] [g.c.g] \[ \Rightarrow AK = HE\] [7]
Vì \[AB = BK + AK\]. Từ [3] và [7] \[ \Rightarrow AB = DF + EH.\]