Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a.
a] Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và AB.
b] Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, DD sao cho AM = BN = DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi.
Lời giải chi tiết
a] Góc giữa AC và AB bằng 90°. Vì AC vuông góc với [ABD] tại trọng tâm G của tam giác ABD và ABD là tam giác đều cạnh \[a\sqrt 2 \] nên
\[d\left[ {AC';A'B} \right] = GI = {{a\sqrt 6 } \over 6}.\]
b] Đặt \[A'M = BN = DP = x\] thì
\[\eqalign{ & A{N^2} = {a^2} + {x^2} \cr & A{P^2} = {a^2} + {x^2} \cr & A{M^2} = {a^2} + {x^2} \cr & \Rightarrow AM = AN = AP \cr} \]
Mặt khác
\[N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}\]
\[= {\left[ {a - x} \right]^2} + {a^2} + {x^2}\]
\[N{M^2} = N{B^2} + BB{'^2} + B'{M^2}\]
\[= {x^2} + {a^2} + {\left[ {a - x} \right]^2} \]
Tương tự, ta có MN = NP = PM.
Do đó A.MNP là hình chóp đều. Khi ấy đường thẳng nối A với trọng tâm tam giác MNP sẽ vuông góc với mp[MNP]. Tương tự như trên ta cũng có đường thẳng nối C với trọng tâm của tam giác MNP sẽ vuông góc với mp[MNP]. Vậy trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định AC.