- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Từ khẳng định [khi x thay đổi, hàm số\[y = \sin x\]nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn\[\left[ { - 1;1} \right]\], hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số\[y = a\sin x + b\cos x\][a, b là hằng số,\[{a^2} + {b^2} \ne 0\]] lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn\[\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left[ {x + \alpha } \right]\]
\[\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left[ {x + \alpha } \right] \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left[ {x + \alpha } \right] \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}\]
Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \[\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\]
LG b
Xét hàm số\[y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\].
Viết đẳng thức đó thành
\[\left[ {y - 1} \right]\sin x - \left[ {y + 1} \right]\cos x = - 3y - 1\]
để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.
\[{\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} \ge {\left[ {3y + 1} \right]^2}\]
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
Do \[\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 \] nên \[\sin x - \cos x + 3 \ne 0\] với mọi x.
Khi đó:
\[\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left[ {y - 1} \right]\sin x - \left[ {y + 1} \right]\cos x = - \left[ {3y + 1} \right]
\end{array}\]
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \[\left[ { - \sqrt {{{\left[ {y - 1} \right]}^2} + {{\left[ {y + 1} \right]}^2}} ;\sqrt {{{\left[ {y - 1} \right]}^2} + {{\left[ {y + 1} \right]}^2}} } \right].\] Đẳng thức trên cho thấy \[ - \left[ {3y + 1} \right]\] phải thuộc đoạn đó, tức là:
\[{\left[ {3y + 1} \right]^2} \le {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2}\]
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
\[\left[ {y - 1} \right]\sin x - \left[ {y + 1} \right]\cos x = - \left[ {3y + 1} \right]\]
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
\[7{y^2} + 6y - 1 \le 0\] tức là \[ - 1 \le y \le {1 \over 7}\]
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \[{1 \over 7}\] và -1.
LG c
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số\[y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\]
Ta có: \[\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\] nên \[2\cos x - \sin x + 4 \ne 0\] với mọi x.
Khi đó,
\[\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left[ {y + 2} \right]\sin x + \left[ {1 - 2y} \right]\cos x = 4y - 3
\end{array}\]
Để tồn tại cặp số [x;y] thì:
\[{\left[ {4y - 3} \right]^2} \le {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {1 - 2y} \right]^2}\]
Bất đẳng thức tương đương với \[11{y^2} - 24y + 4 \le 0\] tức là \[{2 \over {11}} \le y \le 2\]
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \[{2 \over {11}}\]