Đề bài
Cho đường thẳng d1đi qua điểm M1[0;0;1], có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} [0;1;0]\] và đường thẳng d2đi qua điểm M2[0;0;-1], có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} [1;0;0].\] Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d1, d2.
Lời giải chi tiết
Với điểm \[M\left[ {x;y;z} \right]\] bất kì, ta tính được các khoảng cách từ \[M\] tới \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là:
\[{h_1} = \sqrt {{{\left[ {z - 1} \right]}^2} + {x^2}} ,\] \[{h_2} = \sqrt {{{\left[ {z + 1} \right]}^2} + {y^2}} .\]
M cách đều \[{d_1}\] và \[{d_2}\] khi và chỉ khi
\[{h_1} = {h_2}\] \[\Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {z - 1} \right]}^2} + {x^2}} = \sqrt {{{\left[ {z + 1}\right]}^2} + {y^2}} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 2z = {y^2} + 2z \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 4z. \cr} \]
Xét trường hợp sau:
+] \[M \in \] mp\[\left[ {Oxy} \right]\] khi đó \[z = 0\] suy ra \[{x^2} - {y^2} = 0.\]
Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng \[y = \pm x\] nằm trong mặt phẳng \[z = 0\].
+]M \[ \in \] mp[Oyz], tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y2= -4z nằm trong mặt phẳng x = 0.
+]M \[ \in \] mp[Oxz], tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x2= 4z nằm trong mặt phẳng y = 0.