- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường tròn đường kínhAB=2Rnằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và một điểmMnằm trên đường tròn đó sao cho \[\widehat {MAB} = \alpha \]. Trên đường thẳng vuông góc với \[\left[ P \right]\] tạiA, lấy điểmSsao choSA=h. GọiHvàKlần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrênSMvàSB.
LG a
Chứng minh rằng \[SB \bot mp\left[ {KHA} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[BM \bot AM\] [vìMnằm trên đường tròn đường kínhAB] và \[BM \bot SA\] [do \[SA \bot \left[ P \right]\]], suy ra \[BM \bot \left[ {SAM} \right] \Rightarrow BM \bot AH.\]
Mặt khác \[AH \bot SM,\] suy ra \[AH \bot SB,\]
Theo giả thiết , ta lại có \[AK \bot SB\]
Vậy \[SB \bot \left[ {KHA} \right].\]
LG b
GọiIlà giao điểm củaHKvới \[\left[ P \right]\]. Hãy chứng minhAIlà tiếp tuyến của đường tròn đã cho.
Lời giải chi tiết:
Vì \[SB \bot \left[ {KHA} \right]\] nên \[SB \bot AI\], mặt khác \[SA \bot AI\] nên \[AI \bot AB\], màAIthuộc \[mp\left[ P \right]\], suy raAIlà tiếp tuyến của đường tròn đã cho tại điểmA.
LG c
Choh = 2R, \[\alpha = {30^0}\], tính thể tích khối chópS.KHA.
Lời giải chi tiết:
Cách1. Ta có :
\[\eqalign{ & {{{V_{S.KHA}}} \over {{V_{S.BMA}}}} = {{SK} \over {SB}}.{{SH} \over {SM}} = {{SK.SB} \over {S{B^2}}}.{{SH.SM} \over {S{M^2}}} \cr&= {{S{A^4}} \over {S{B^2}.S{M^2}}} \cr & = {{[2R]^4} \over {\left[ {4{R^2} + 4{R^2}} \right].\left[ {4{R^2} + A{M^2}} \right]}} \cr&= {{2{R^2}} \over {4{R^2} + 4{R^2}.{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {2\left[ {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right]}}, \cr & {V_{S.BMA}} = {1 \over 3}{S_{BMA}}.SA = {1 \over 6}AM.BM.SA \cr&= {1 \over 6}2R\cos \alpha .2Rsin\alpha .2R \cr & = {{2{R^3}} \over 3}\sin 2\alpha = {{2{R^3}} \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{{R^3}\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \]
Vậy \[{V_{S.KHA}} = {1 \over {2\left[ {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right]}}.{{{R^3}\sqrt 3 } \over 3} \]
\[= {1 \over {2\left[ {1 + {3 \over 4}} \right]}}.{{{R^3}\sqrt 3 } \over 3} = {{2{R^3}\sqrt 3 } \over {21}}\]
Cách 2.Dễ thấy \[{V_{S.KHA}} = {1 \over 3}{S_{KHA}}.SK.\]
Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính đượcSK, AH, AK, HK[ với chú ý rằng tam giácKHAvuông ởH] theoR. Từ đó tính được thể tích khối chópS.KHA.