Đề bài
Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\] có \[3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0\] và \[u_3^2 + u_6^2 = 63.\] Hãy tính tổng
\[S = \left| {{u_1}} \right| + \left| {{u_2}} \right| + \left| {{u_3}} \right| + ... + \left| {{u_{15}}} \right|.\]
Lời giải chi tiết
Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy, \[{u_1}.q \ne 0.\] Do đó, ta có
\[\left\{ \matrix{
3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0 \hfill \cr
u_3^2 + u_6^2 = 63 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q\left[ {3\sqrt 3 + {q^3}} \right] = 0 \hfill \cr
u_1^2.{q^4}.\left[ {1 + {q^6}} \right] = 63 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
q = - \sqrt 3 \hfill \cr
\left| {{u_1}} \right| = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[I]\]
Vì dãy số \[[{u_n}]\] là một cấp số nhân với công bội q nên dãy số \[\left[ {\left| {{u_n}} \right|} \right]\] là một cấp số nhân với công bội \[\left| q \right|\]. Vì thế, kí hiệu S là tổng cần tính, từ [I] ta được.
\[S = {1 \over 2} \times {{1 - {{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^{15}}} \over {1 - \sqrt 3 }}\]