Đề bài
Cho tứ diện ABCD có \[BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}};AB = a,C{\rm{D}} = a\sqrt 3 \]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.
a] Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b] Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
a]
\[\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD[c.c.c] \cr
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \]
Do đó \[\Delta ABJ\] cân tại J, suy ra \[IJ \bot AB\]
Chứng minh tương tự: \[IJ \bot CD\]
Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b] Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\], đặt \[I{\rm{O}} = x\] ta có đẳng thức
\[\eqalign{ & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left[ {a - x} \right]^2} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} \cr & \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \]
Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng
\[\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}} = {{a\sqrt {13} } \over 4}\].