Đề bài
Cho hai số A và B sao cho
\[f\left[ x \right] = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {x + 1}} + {B \over {x - 1}}\,\,\left[ {\forall x \ne \pm 1} \right]\]
a] Tìm A và B
b] Tính\[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]\,\,\left[ {x \in N^*} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có
\[{{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {{A\left[ {x - 1} \right] + B\left[ {x + 1} \right]} \over {{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x \ne \pm 1} \right]\]
\[\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {A + B} \right]x + B - A \equiv x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x \ne \pm 1} \right] \cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A + B = 1 \hfill \cr B-A = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = 3 \hfill \cr B = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \]
Vậy
\[f\left[ x \right] = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {3 \over {x + 1}} - {2 \over {x - 1}}\]
Áp dụng công thức đạo hàm cấp n ta được:
\[{\left[ {{1 \over {ax + b}}} \right]^{\left[ n \right]}} = {{{{\left[ { - 1} \right]}^n}.n!.{a^n}} \over {{{\left[ {ax + b} \right]}^{n + 1}}}}\]
Ta được
\[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right] = 3{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}n!} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^{n + 1}}}} - 2{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}.n!} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^{n + 1}}}}\]