Đề bài
Trên hình \[82\], tam giác \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn \[[O]\].
a] Chứng minh rằng:
\[2AD=AB+AC-BC.\]
b] Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: Nếu \[AB,\ AC\] là hai tiếp tuyến của \[[O]\] lần lượt tại \[A,\ B\] thì ta có: \[AB=AC\]
+] Chu vi tam giác \[ABC\] là \[C_{\Delta{ABC}}=AB+AC+BC\]
Lời giải chi tiết
a] Tam giác \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn tâm \[O\] nên \[AB,\ BC,\ AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[D,\ E,\ F\] của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[AD=AF;\ DB=BE;\ FC=CE.\]
Xét vế phải:
\[VP=AB+AC-BC\]
\[=[AD+DB]+[AF+FC]-[BE+EC]\]
Thay \[DB=BE,\ FC=CE\] vào biểu thức trên, ta được:
\[VP=[AD+BE]+[AF+CE]-[BE+EC]\]
\[=AD+BE+AF+CE-BE-EC\]
\[=AD+AF+[BE-BE]+[CE-EC]\]
\[= AD+AF=2AD=VT.\] [Do \[AD=AF]\]
Vậy\[2AD=AB+AC-BC.\]
b] Các hệ thức tương tự là:
\[2BD=BA+BC-AC;\]
\[2CF=CA+CB-AB.\]
Nhận xét.
Đặt \[p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}\] là nửa chu vi của tam giác \[ABC\],\[AB=c;\ BC=a;\ CA=b\].
Ta có:\[2AD=AB+AC-BC\]
\[=[AB+AC+BC]-2BC\]
\[\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-\dfrac{2BC}{2}\]
\[\Leftrightarrow AD=p-BC\] hay \[AD=p-a\].
Tương tự ta có các kết quả sau:
\[AD=AF=p-a;\]
\[BD=BE=p-b;\]
\[CE=CF=p-c.\]