Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho điểm \[A[2;0]\] và đường thẳng \[d\] có phương trình \[x+y-2=0\]. Tìm ảnh của \[A\] và \[d\] qua phép quay tâm \[O\] góc\[ 90^{\circ}\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], quay ngược chiềukim đồng hồ.
Ảnh của đường thẳng được xác định bởi ảnh của ít nhất 2 điểm thuộc đường thẳng ấy
Lời giải chi tiết
* Ta có \[A[2; 0]\] thuộc tia \[Ox.\]
Gọi \[{Q_{\left[ {O,90} \right]}}\;\left[ A \right] = B\]thì \[B\] thuộc tia \[Oy\] và \[OA = OB\] nên \[B[0 ; 2].\]
* Lấy \[A[2;0], B[0;2]\] thuộc \[d\]
Ta có: \[{Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\left[ A \right] = B\,\Rightarrow B\left[ {0;2} \right]\]
\[{Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\left[ B \right] = A'\, \Rightarrow A'\left[ {-2;0} \right]\]
Do đó \[{Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\] biến đường thẳng \[AB\] thành đường thẳng \[BA'\] hay biến đường thẳng \[d\] thành đường thẳng \[BA'\].
Mà \[B\left[ {0;2} \right],A'\left[ { - 2;0} \right]\] nên đường thẳng \[A'B\] có phương trình \[\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow - x + y = 2\] \[ \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\]
Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \[A\left[ {a;0} \right],B\left[ {0;b} \right]\] \[ \Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\] với \[ab \ne 0\].
Cách khác:
Gọi \[d'\] là ảnh của \[d\] qua\[{Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\]
Dễ thấy \[A[2;0]\] thuộc \[d\] vì \[2+0-2=0.\]
\[{Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\left[ A \right] = B\]\[ \Rightarrow B\left[ {0;2} \right]\] thuộc \[d'.\]
Do\[d' = {Q_{\left[ {O;{{90}^0}} \right]}}\left[ d \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {d,d'} \right] = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\].
Mà\[\overrightarrow {{n_d}} = \left[ {1;1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left[ {1; - 1} \right]\] là \[VTPT\] của \[d'.\]
\[d'\] đi qua \[B[0;2]\] và nhận \[[1;-1]\] làm \[VTPT\] nên có phương trình:
\[1[x-0]-1[y-2]=0\] hay \[x-y+2=0.\]