Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
LG a
\[{x^3}-3{x^2} + 5 = 0\];
Phương pháp giải:
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \[y=f\left[ x \right]\] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=a\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] với đường thẳng \[y=a.\]
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\]
+] Tập xác định: \[D=R.\]
+] Sự biến thiên:
Ta có: \[y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\] \[\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[- \infty ;0 \right]\] và \[\left[ 2;+\infty \right]\]; hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 2 \right].\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\]
+] Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
+] Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[\left[ 0;\ 5 \right].\]
Số nghiệm của phương trình \[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\] và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
LG b
\[- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\];
Phương pháp giải:
Xét phương trình tương đương, sau đó:
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \[y=f\left[ x \right]\] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=a\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] với đường thẳng \[y=a.\]
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\[-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.[*]\]
Ta có: [*] \[\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\]
Xét hàm số: \[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\]
Tập xác định: \[D=R.\]
Ta có: \[y'=6{{x}^{2}}-6x\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\ 0 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right];\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 1 \right].\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\]
Giới hạn:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \[-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[y=-2.\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \[y=-2\] cắt đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\] tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Xét hàm số\[y = {\rm{ }}f\left[ x \right] = - 2{x^3}\; + {\rm{ }}3{x^2}-2.\]
- TXĐ: \[D = \mathbb R\]
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{y' = - 6{x^2}\; + {\rm{ }}6x = - 6x\left[ {x - 1} \right]}\\
{y' = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x = 0{\rm{ }};{\rm{ }}x = 1}
\end{array}\]
+ Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = - \infty \]
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số \[y = f[x]\] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
phương trình \[f[x] = 0]\] có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình \[ - 2{x^3}\; + 3{x^2}\; -2 = 0\]chỉ có một nghiệm.
LG c
\[2{x^2}-{x^4} = - 1\].
Phương pháp giải:
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \[y=f\left[ x \right]\] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=a\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] với đường thẳng \[y=a.\]
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\[2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\]
Xét hàm số: \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\]
Tập xác định: \[D=R.\]
Sự biến thiên: \[y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\] \[\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\ -1 \right]\] và \[\left[ 0;\ 1 \right];\] hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ -1;\ 0 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right].\]
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\]
Giới hạn:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \[2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\] và đường thẳng \[y=-1.\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \[y=-1\] cắt đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\] tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.