Đề bài
Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \[\alpha\]tùy ý, ta có:
a] \[\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha};\] \[\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\] \[\tan \alpha . \cot \alpha =1\];
b]\[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\]
Gợi ý:Sử dụng định lý Py-ta-go.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:
\[\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};\] \[\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}\];
\[\tan \alpha = \dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ kề};\] \[\cot \alpha =\dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ đối}.\]
+] Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\], khi đó:
\[BC^2=AB^2+AC^2\]
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\], có \[\widehat{ACB}=\alpha\].
+] \[\Delta{ABC}\], vuông tại \[A\], theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\[\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}\], \[\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}\]
\[\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}\], \[\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}\].
* Chứng minh \[\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\].
\[VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} :\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}\]
\[=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT\]
[Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức]
* Chứng minh \[ \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\].
\[VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}\]
\[=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT\]
* Chứng minh \[\tan \alpha . \cot \alpha =1\].
Ta có: \[VT=\tan \alpha . \cot \alpha \]
\[= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP\]
b] \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\], áp dụng định lí Pytago, ta được:
\[BC^2=AC^2+AB^2\] [1]
Xét \[\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha \]
\[\;\;\;={\left[\dfrac{AB}{BC} \right]^2}+ {\left[\dfrac{AC}{BC} \right]^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}\]
\[\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}\] [2]
Thay [1] vào [2] ta được:
\[\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1 \]
Như vậy \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] [điều phải chứng minh]
Nhận xét: Ba hệ thức:
\[\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\]; \[\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\] và \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\]là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.