Đề bài
Cho ba đường thẳng \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \[I = {d_1} \cap {d_2}\], chứng minh\[I \in {d_3}\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] là ba đường thẳng đã cho.
Gọi \[I =d_1\cap d_2\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\]
Ta chứng minh \[I d_3\]. Thật vậy,
Gọi[β] là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \[d_1,d_3\].
\[[\gamma]\] là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \[d_2,d_3\].
Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên[β] và \[[\gamma]\] phân biệt.
Ngoài ra
\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left[ \beta \right]\\
{d_3} \subset \left[ \gamma \right]
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \beta \right] \cap \left[ \gamma \right] = {d_3}\]
\[I d_1\subset \left[ \beta \right] \RightarrowI [β] = [d_1,d_3]\]
\[I d_2\subset \left[ \gamma \right] \RightarrowI [\gamma] = [d_2,d_3]\]
Từ đó suy ra, \[I [\beta ] \cap [\gamma ]=d_3\].
Cách khác:
Gọi [P] là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau\[{d_{1,}}{d_2}\]
Gọi\[M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}\]. Giả sử\[M \ne {\rm{ }}N\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left[ P \right]\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left[ P \right]\\
N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left[ P \right]\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left[ P \right]\\
M,N \in {d_3}
\end{array} \right.\quad \\
\Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset [P]
\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\] cùng thuộc mặt phẳng \[[P]\] [trái với giả thiết \[{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\]không đồng phẳng].
\[\Rightarrow\] Giả sử sai.
Vậy\[M \equiv {\rm{ }}N\]và\[{\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\] đồng quy tại \[M\]
Vậy\[{\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\]đồng quy.