Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\] có các dây \[AB\] và \[CD\] bằng nhau, các tia \[AB\] và \[CD\] cắt nhau tại điểm \[E\] nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H\] và \[K\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB\] và \[CD\]. Chứng minh rằng:
a] \[EH = EK\]
b] \[EA = EC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng các tính chất sau:Trong một đường tròn
+] Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b] Cộng đoạn thẳng
Lời giải chi tiết
a]Nối OE.
Vì \[HA=HB\] nên \[OH\perp AB\] [ĐLí 2 - trang 103: đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
Vì \[KC=KD\] nên \[OK\perp CD\]. [ĐLí 2 - trang 103: đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
Mặt khác, \[AB=CD\] nên \[OH=OK\] [hai dây bằng nhau thì cách đều tâm].
Xét\[\Delta HOE\] và \[\Delta KOE\] có:
\[OH=OK\]
\[EO\] chung
\[\widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^0\]
Suy ra \[\Delta HOE=\Delta KOE\][cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra \[EH=EK [1]\]
b] Theo giả thiết, \[AB=CD\] nên \[\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}\] hay \[AH=KC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[EH+HA=EK+KC\]
hay \[EA=EC.\]