Đề bài
Chứng minh các định lý sau:
a] Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b] Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất:
a] Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó.
b] Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].
Gọi \[O\] là trung điểm của cạnh huyền \[BC\], ta có:
\[OB=OC=\dfrac{BC}{2}\].
Lại có, \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] có \[AO\] là trung tuyến
\[\Rightarrow AO=\dfrac{BC}{2}\]
Do vậy \[OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}\] nên ba điểm \[A,\ B,\ C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính \[OA\]. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] chính là trung điểm của cạnh huyền.
b]
Xét tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O]\] đường kính \[BC\].
Suy ra ba điểm \[A,\ B,\ C\] cùng nằm trên đường tròn \[[O]\]
\[\Rightarrow OA = OB = OC = R\]
Lại có \[BC\] là đường kính của \[[O] \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}\]
\[\Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}\] [1]
Vì \[O\] là trung điểm cạnh \[BC\] nên \[AO\] là đường trung tuyến ứng với cạnh \[BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].
Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.