Đề bài
Cho hình chóp đỉnh \[S\] có đáy là hình thang \[ABCD\] với \[AB\] là đáy lớn. Gọi \[M, N\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[SB, SC\]
a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SAD]\] và \[[SBC]\]
b] Tìm giao điểm của đường thẳng \[SD\] với mặt phẳng \[[AMN]\]
c] Tìm thiết dện của hình chóp \[S.ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[[AMN]\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng \[[SAD]\] và \[[SBC]\].
b] Tìm điểm chung của đường thẳng \[SD\] với mặt phẳng \[[AMN]\] theo các bước:
- Tìm một mp chứa \[SD\] mà cắt được với \[[AMN]\].
- Tìm giao tuyến của mp vừa tìm với \[[AMN]\].
- Tìm giao điểm của giao tuyến đó với \[SD\].
c] Tìm giao tuyến của mặt phẳng \[[AMN]\] với tất cả các mặt của hình chóp.
Lời giải chi tiết
a] Trong \[[ABCD]\] gọi \[E=AD\cap BC\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in AD \subset \left[ {SAD} \right]\\E \in BC \subset \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow E \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]\].
Mà \[S \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]\] \[ \Rightarrow SE = \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]\].
b] + Ta có: \[SD \subset \left[ {SAD} \right]\]
+ Tìm giao tuyến của \[SD\] với \[[AMN]\].
Trong \[[SBE]\]: gọi \[F=MN SE\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in MN \subset \left[ {AMN} \right]\\
F \in SE \subset \left[ {SAD} \right]
\end{array} \right. \] \[\Rightarrow F \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SAD} \right]\]
Mà\[A \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SAD} \right]\] nên\[AF = \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SAD} \right]\]
+ Tìm giao điểm của \[AF\] với \[SD\].
Trong \[[SAE]\]: gọi \[P= AF SD\]
\[ \Rightarrow P \in AF \subset \left[ {AMN} \right]\].
Mà \[P \in SD\] nên \[P=SD\cap [AMN]\]
c] Ta có: \[\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = AP\]
+] \[\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = PN\]
+] \[\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MN\]
+] \[\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {SAB} \right] = AM\]
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[[AMN]\] là tứ giác \[AMNP\].