Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] đường trung tuyến \[AM\] và trọng tâm \[G.\] Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[G.\]
Chứng minh rằng \[I\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[M.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên \[A, G, M\] thẳng hàng.
Vì \[I\] đối xứng với \[A\] qua tâm \[G\] nên \[GA = GI\] và \[A, G, M, I\] thẳng hàng.
Lại có \[GM=\dfrac{1}{2} GA\] [ tính chất đường trung tuyến của tam giác]
Suy ra: \[GM=\dfrac{1}{2} GI\]
Mà: \[GM + MI = GI\]
Suy ra: \[GM = MI=\dfrac{1}{2} GI\] nên điểm \[M\] là trung điểm của \[GI\]
Vậy \[I\] đối xứng với \[G\] qua tâm \[M.\]