Đề bài
Điền vào các chỗ trống [...] trong phép chứng minh sau:
Số\[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.
Giả sử \[\sqrt 2 \] không phải là số vô tỉ thì phải tồn tại các số nguyên m và n sao cho\[\sqrt 2 = \dfrac{m}{n},\]trong đó \[n > 0\] còn hai số \[m\] và \[n\] không có ước chung nào khác 1 và \[-1\][hai số \[m\] và \[n\] nguyên tố cùng nhau].
Khi đó, ta có: ... hay\[2{n^2} = {m^2}\] [1].
Kết quả [1] chứng tỏ \[m\] là số chẵn, nghĩa là \[m = 2p\] với \[p\] là số nguyên.
Thay\[m = 2p\] vào [1] ta được: ... hay \[{n^2} = 2{p^2}\] [2]
Kết quả [2] chứng tỏ \[n\] phải là số chẵn.
Hai số \[m\] và \[n\] đều là số chẵn, trái với giả thiết\[m\] và\[n\] không có ước chung nào khác \[1\] và \[-1\].
Vậy \[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Với\[A \ge 0;m \ge 0,n > 0\]
\[A = \dfrac{m}{n} \Rightarrow {A^2} = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\].
Lời giải chi tiết
Số\[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.
Giả sử \[\sqrt 2 \] không phải là số vô tỉ thì phải tồn tại các số nguyên m và n sao cho\[\sqrt 2 = \dfrac{m}{n},\] trong đó \[n > 0\] còn hai số \[m\] và \[n\] không có ước chung nào khác 1 và \[-1\] [hai số \[m\] và \[n\] nguyên tố cùng nhau].
Khi đó, ta có: \[{[\sqrt 2 ]^2} = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\] hay\[2{n^2} = {m^2}\] [1].
Kết quả [1] chứng tỏ \[m\] là số chẵn, nghĩa là \[m = 2p\] với \[p\] là số nguyên.
Thay\[m = 2p\] vào [1] ta được:\[2{n^2} = {\left[ {2p} \right]^2}\] hay \[{n^2} = 2{p^2}\] [2]
Kết quả [2] chứng tỏ \[n\] phải là số chẵn.
Hai số \[m\] và \[n\] đều là số chẵn, trái với giả thiết\[m\] và\[n\] không có ước chung nào khác \[1\] và \[-1\].
Vậy \[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.