Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Tìm một điểm \[M\] trên cạnh \[AB\] và một điểm \[N\] trên cạnh \[AC\] sao cho \[MN\] song song với \[BC\] và \[AM = CN\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Giả sử dựng được hai điểm \[M,N\] thỏa mãn bài toán.
- Sử dụng các tính chất hình học đã biết để suy ra cách dựng.
Lời giải chi tiết
Giả sử đã dựng được hai điểm \[M,N\] thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Qua \[M\] kẻ đường thẳng song song với \[AC\] cắt \[BC\] tại \[D\].
Khi đó tứ giác \[MNCD\] là hình bình hành \[ \Rightarrow CN = DM\].
Mà \[CN = AM\] [giả thiết] \[ \Rightarrow AM = DM\] hay \[\Delta ADM\] cân tại \[M\].
Do đó \[\widehat {MAD} = \widehat {MDA}\], mà \[\widehat {MDA} = \widehat {DAC}\] [so le trong] nên \[\widehat {MAD} = \widehat {DAC}\].
Suy ra \[AD\] là phân giác trong của góc \[A\] nên ta dựng được \[AD\] .
Ta lại có \[\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {CD} \] nên \[M = {T_{\overrightarrow {CD} }}\left[ N \right]\]
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng đường phân giác trong của góc \[A\]. Đường này cắt \[BC\] tại \[D\].
- Dựng đường thẳng \[d\] là ảnh của đường thẳng \[AC\] qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {CD} \]. \[d\] cắt \[AB\] tại \[M\].
- Dựng \[N\] sao cho \[\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \].
Khi đó dễ thấy \[M,N\] thỏa mãn điều kiện đầu bài.