Đề bài
Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \[R\sqrt 2 \]. Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a] Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b] Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định [tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ].
Lời giải chi tiết
a] Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng chứa đường tròn đáy có đường kính CD, khi đó A, B nằm trên đường tròn đáy.
Ta có: \[A'B' \bot CD\]nên ACBD là hình vuông có đường chéo CD = 2R nên \[A'C = R\sqrt 2 ,\]mà \[AA' = R\sqrt 2 \]nên ta suy ra AC = 2R.
Tương tự AD = BC = BD = 2R. Vậy ABCD là tứ diện đều.
Cách khác:
Vì AB CD nên ta chứng minh được ΔDBC cân tại B, suy ra BD = BC, tương tự ta có: AC=AD=BD=BC
Trong tam giác vuông OOC có: BC2=O'B2+O'C2
Trong tam giác vuông OOB có: O'B2=O'O2+OB2
Vậy BC2=O'O2+OB2+O'C2
= [R2 ]2+R2+R2=4R2
BC = 2R.
vậy tứ diện ABCD có 6 cạnh bằng nhau và bằng 2R nên nó là tứ diện đều. [đpcm]
b] Gọi O, O lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy.
Ta có \[d\left[ {OO',AC} \right] = d\left[ {OO',\left[ {AA'C} \right]} \right] = O'H\][với H là trung điểm của AC].
Vậy \[d = O'H = {{R\sqrt 2 } \over 2}.\]
Tương tự khoảng cách giữa mỗi đường thẳng BC, BD và OO đều bằng \[{{R\sqrt 2 } \over 2}\].
Vậy các cạnh AC, AD, BC, BD đều tiếp xúc với mặt trụ có trục OO và bán kính\[{{R\sqrt 2 } \over 2}\].