- LG a
- LG b
Cho hàm số \[y = {{a{x^2} - bx} \over {x - 1}}\]
LG a
Tìm \[a\] và \[b\] biết rằng đồ thị \[[C]\] của hàm số đã cho đi qua điểm \[A\left[ { - 1;{5 \over 2}} \right]\] và tiếp tuyến của \[[C]\] tại điểm \[O[0;0]\] có hệ số bằng \[-3\].
Lời giải chi tiết:
\[y' = {{\left[ {2ax - b} \right]\left[ {x - 1} \right] - \left[ {a{x^2} - bx} \right]} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\] \[= \frac{{a{x^2} - 2ax + b}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Đồ thị \[[C]\] đi qua \[A\left[ { - 1;{5 \over 2}} \right]\] \[\Leftrightarrow y\left[ { - 1} \right] = {5 \over 2} \Leftrightarrow {{a + b} \over { - 2}} = {5 \over 2} \] \[\Leftrightarrow a + b = - 5\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[O[0;0]\] có hệ số góc bằng \[-3\] khi và chỉ khi \[y[0] = -3 \] \[\Leftrightarrow \frac{{a{{.0}^2} - 2a.0 + b}}{{{{\left[ {0 - 1} \right]}^2}}} = - 3\] \[\Leftrightarrow b = - 3\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[a = -2; b = - 3\].
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của \[a\] và \[b\] đã tìm được.
Lời giải chi tiết:
Với \[a = -2; b = - 3\] ta có: \[y = {{ - 2{x^3} + 3x} \over {x - 1}}\]
Tập xác định: \[D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = {{ - 2{x^2} + 4x - 3} \over {{{[x - 1]}^2}}} < 0\,\forall x \in D\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[ - \infty ;1]\] và \[[1; + \infty ]\]
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \]
Tiệm cận đứng là: \[x=1\]
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ - 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} - x}} = - 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [y + 2x] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{ - 2{x^2} + 3x} \over {x - 1}} + 2x} \right] = 1 \cr} \]
Tiệm cận xiên là: \[y=-2x+1\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\] và \[\left[ {{3 \over 2};0} \right]\]