\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = - 2\sin 2x - 2 \\= - 2\left[ {\sin 2x + 1} \right]\\Do\,\,- 1 \le \sin 2x \le 1 \\\Rightarrow \sin 2x + 1 \ge 0,\forall x\\ \Rightarrow f'\left[ x \right] = - 2\left[ {\sin 2x + 1} \right] \le 0,\forall x\end{array}\]
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số: \[f\left[ x \right] = \cos 2x - 2x + 3\]nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Lời giải chi tiết
TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = - 2\sin 2x - 2 \\= - 2\left[ {\sin 2x + 1} \right]\\
Do\,\,- 1 \le \sin 2x \le 1 \\\Rightarrow \sin 2x + 1 \ge 0,\forall x\\
\Rightarrow f'\left[ x \right] = - 2\left[ {\sin 2x + 1} \right] \le 0,\forall x
\end{array}\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1\] \[ \Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\] \[\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\]
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \[\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + [k+1]\pi } \right]\]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].