- LG a
- LG b
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
\[y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = \sin x, - 1 \le t \le 1\]
\[y = f\left[ t \right] = 2{t^2} + 2t - 1\]
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left[ t \right]\] trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\].
Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \[\mathbb R\].
\[f'\left[ t \right] = 4t + 2;f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\]
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = - 1;f\left[ { - {1 \over 2}} \right] = - {3 \over 2};\] \[f\left[ 1 \right] = 3\]
Bảng biến thiên:
\[\mathop {\min \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2}\] đạt được khi
\[\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\]
\[\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\] đạt được khi \[\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]
LG b
\[y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 \] \[= - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\]
Đặt \[t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\]
\[y = f\left[ t \right] = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5\]
\[f'\left[ t \right] = - 2t - {1 \over 2}\]
\[f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = {9 \over 2};f\left[ { - {1 \over 4}} \right] = {{81} \over {16}};\] \[f\left[ 1 \right] = {7 \over 2}\]
BBT:
\[\mathop {\min \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\mathop {\max \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2}\] đạt được khi \[\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \] \[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \]
\[\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\] đạt được khi
\[\sin 2x = - \frac{1}{4} \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k2\pi \\
2x = \pi - \arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k2\pi
\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k\pi
\end{array} \right.\]