Đề bài
Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \[{v_o} > 0\]từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \[O\], nghiêng một góc \[\alpha \]với mặt đất [nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \[Oxy\] và tạo với trục hoành \[Ox\] góc\[\alpha \] ]. Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.
\[\left[ {{\gamma _\alpha }} \right]:y = - {g \over {2v_o^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]{x^2} + x\tan \alpha \] [ \[g\] là gia tốc trọng trường].
Chứng minh rằng với mọi \[\alpha \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right],\,\left[ {{\gamma _\alpha }} \right]\] luôn tiếp xúc với parabol \[[P]\] có phương trình là: \[y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\] và tìm tọa độ tiếp điểm \[[P]\] được gọi là parabol an toàn].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai đường cong f[x] và g[x] tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\
f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]
\end{array} \right.\]
Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[y = - {g \over {2v_o^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]{x^2} + x\tan \alpha\]
\[ \Rightarrow y' =- {g \over {v_o^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]x + \tan \alpha \]
\[y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\]
\[\Rightarrow y'=- {g \over {v_o^2}}x\]
Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
- {g \over {2v_o^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]{x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr
- {g \over {v_o^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.\]
Xét phương trình thứ hai trong hệ:
\[\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow - \frac{g}{{v_0^2}}\left[ {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right]x + \tan \alpha + \frac{g}{{v_0^2}}x = 0\\
\Leftrightarrow \frac{g}{{v_0^2}}x\left[ { - 1 - {{\tan }^2}\alpha + 1} \right] + \tan \alpha = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}x = - \tan \alpha \\
\Leftrightarrow x = \left[ { - \tan \alpha } \right]:\frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{v_0^2}}{{g\tan \alpha }}
\end{array}\]
Thay \[x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\] và pt thứ nhất trong hệ ta thấy thỏa mãn.
Vậy với mọi \[\alpha \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]hai parabol luôn tiếp xúc với nhau.
Hoành độ tiếp điểm là \[x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\].Tung độ của tiếp điểm là
\[y = - {g \over {2v_o^2}}{\left[ {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right]^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\] \[ = {{v_o^2} \over {2g}}\left[ {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right]={{v_o^2} \over {2g}}{\left[ {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right]} \]
Điểm \[\left[ {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left[ {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right]} \right]\]là tiếp điểm của hai parabol với mọi \[\alpha \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]