Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m lớp 11

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ví dụ 1: Cho phương trình

(m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b) Theo hệ thức Vi – et ta có:

không phụ thuộc vào tham số m

Ví dụ 2: Cho phương trình

(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Theo hệ thức Vi – et ta có:

Theo giả thiết ta có:

x1 < 1 < x2 =>

=> (x1 – 1)(x2 – 1) < 0

=> x1x2 – (x1 + x2) + 1 < 0 (**)

Từ (*) và (**) ta có:

(2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m

Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài tập 1: Cho phương trình

(m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bài tập 2: Cho phương trình

(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x1 – x2)(2x2 – x1) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài tập 3: Cho phương trình

(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các bài tập từ cơ bản đến nâng cao phần Phương trình bậc hai chứa tham số đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

• Luyện tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) ;

b) \(m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\)    

\(f\left( x \right) = \left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Quảng cáo - Advertisements

Đăng bởi admin Ngày 01/09/2017 24967 lượt xem Facebook:

Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:

Chứng minh phương trình $$f(x) = 0$$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Các bước giải bài toán:

Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng $\left({a;b} \right)$.

Bước 2. Tính $f(a),f\left( b \right)$.

Bước 3. Chứng minh $f(a).f\left( b \right) \le 0$.

Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nên đồ thì của hàm số này từ $f\left( a \right)$ đến $f\left( b \right)$ là một đường liền nét.

Mà $f(a).f\left( b \right) \le 0$ nghĩa là $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$ trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số này từ $f\left( a \right)$ đến $f\left( b \right)$ sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình ${x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Hướng dẫn:

Đặt $f\left( x \right) = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6$ thì $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

$f\left( 1 \right) = – 3,f\left( 2 \right) = 8$

Suy ra $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 24 $ < 0

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $$m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x – 2} \right) + 2x – 3 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

Đặt $$f\left( x \right) = m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x – 2} \right) + 2x – 3$$ thì $$f\left( x \right)$$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.

$$f\left( 1 \right) = – 1,f\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 1$$ < 0

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $${m^2}{x^4} + 2m{x^3} + 3x – 1 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn:

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage: Toán phổ thông

2. Email:

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!