Các dạng bài tập về cung và góc lượng giác năm 2024
|
Cung và góc trong lượng giác là điểm kiến thức mở đầu khi học lượng giác. Ở bài học này, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết các vấn đề từ cơ bản đến phức tạp và tạo nền tảng cho các bài học lượng giác tiếp theo thuộc chương trình toán lớp 10. Show
1. Đường tròn định hướngĐường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Quy ước: Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. 2. Khái niệm cung lượng giácTrên đường tròn định hướng, cho hai điểm A và B. Một điểm M di chuyển trên đường tròn luôn theo một chiều (dương hoặc âm) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B. ⨂ Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng, ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là . ⨂ Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì +) Kí hiệu +) Kí hiệu chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. 3. Khái niệm góc lượng giácTrên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác . Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD. Ta nói ta OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu: (OC, OD). 4. Số đo cung và góc lượng giácTrong mặt phẳn tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1; 0), A'(−1; 0), B(0; 1), B'(0; −1). Ta lấy A làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng giác (gốc A). Số đo của cung và góc lượng giác 5. Liên hệ giữ độ và radianTrên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung co số đo 1 rad. Liên hệ giữa độ và rad: và +) Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung được hiểu là cung rad. Bảng chuyển đổi thông dụng: 6. Số đo cung lượng giácSố đo của một cung lượng giác (A ≠ M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung là là sđ Ghi nhớ: sđ sđ 7. Số đo góc lượng giácSố đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác tương ứng. Số đo của một cung lượng giác Số đo của một cung lượng giác (A ≠ M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung là sđ Ghi nhớ sđ sđ Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác tương ứng. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α là điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo α. Phân dạng bài tậpDạng 1. Liên hệ giữa độ và rađianPhương pháp giảiSử dụng cộng thức chuyển đổi giữa số đo độ và số đo rađian: và . Bài tập vận dụngCâu 1. Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72°; 600°; −37°45’30”. Lời giải. Vì nên Câu 2. Đổi số đo của các góc sau ra độ: Lời giải. Vì nên Câu 3. Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 54°; 30°45′; −60°; −210°. Lời giải. Câu 4. Đổi số đo của các góc sau ra độ: Lời giải. Dạng 2. Độ dài cung lượng giácPhương pháp giảiCung tròn bán kính R có số đo α (0 ≤ α ≤ 2π), có số đo a°(0 ≤ a ≤ 360) và có độ dài là l thì: do đó Đặc biệt: , Bài tập vận dụngCâu 1. Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
Lời giải. Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có nên
Câu 2. Một hải lí là độ dài cung tròn xích đạo có số đo . Biết độ dài xích đạo là 40.000km, hỏi một hải lí dài bao nhiêu km? Lời giải. Một hải lí dài Câu 3. Cho hình vuông A0, A1, A2, A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác . Lời giải. Ta có: nên sđ Ta có: nên sđ Ta có: nên sđ Ta có: nên sđ Như vậy: sđ Theo hệ thức salơ ta có: Câu 4. Tính độ dài cung tròn trong các trường hợp sau:
Lời giải. Câu 5. Cho đường tròn có đường kính R = 20cm. Hãy tính độ dài cung tròn có số đo: Lời giải. Câu 6. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
Lời giải.
Câu 7. Cho lục giác đều A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác . Lời giải. sđ Trang 5 Câu 8. Trên đường tròn lượng giác gốc A. Cho điểm M, N sao cho sđ, sđ. Các điểm M’, N’ lần lượt là các điểm đối xứng của M, N qua tâm đường tròn. Tìm số đo của cung . Lời giải. sđ sđ Theo hệ thức Saclơ ta có: Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giácPhương pháp giảiĐể biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng các kết quả sau: +) Cung có số đo α (a°) và cung có số đo α + k2π (a° + k360°) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. +) Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo dạng (với k là số nguyên và m là số nguyên dương) là m điểm. Từ đó để biểu diễn các cung lượng giác đó, ta cho k chạy từ 0 đến m − 1 rồi biểu diễn các cung đó. Bài tập vận dụngCâu 1. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo . Lời giải. Ta có: Do đó điểm biểu diễn cung lượng giác trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác . Vậy điểm cuối của cung là điểm chính giữa M của cung nhỏ Câu 2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo −765°. Lời giải. Ta có −765° = −45° − 2⋅360° Do đó điểm biểu diễn cung lượng giác −765° trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −45°. Lại có: . Ta chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau. Khi đó điểm M biểu diễn góc có số đo −765°. Câu 3. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo x = kπ với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo kπ. +) Với k = 0, x = 0, được biểu diễn bởi điểm A. +) Với k = 1, x = π, được biểu diễn bởi điểm A’. Câu 4. Cho cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Có bao nhiêu giá trị k thỏa mãn x ∈ [2π; 5π]? Lời giải. Giải hệ bất phương trình Từ đó, để x ∈ [2π; 5π] thì . Vì k là số nguyên nên có 3 giá trị của k là 2,3,4, thỏa mãn ycbt. Câu 5. Cho cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn ? Lời giải. Giải hệ bất phương trình Từ đó, để thì . Vì k là số nguyên nên có 19 giá trị của k (−1, 0, …, 16, 17) thỏa ycbt. Câu 6. Cho cung lượng giác có số đo với số k tùy ý. Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn ? Lời giải. Giải hệ bất phương trình Từ đó, để thì . Vì k là số nguyên nên có 14 giá trị của k (0, 1, …, 12, 13) thỏa ycbt. Câu 7. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo . +) Với k = 0, x1 = 0, được biểu diễn bởi điểm A. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm B. +) Với k = 2, x3 = π, được biểu diễn bởi điểm A’. +) Với k = 3, x4 = , được biểu diễn bởi điểm B’. Câu 8. Biểu diễn cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 6 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo . +) Với k = 0, x1 = 0, được biểu diễn bởi điểm M1. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm M2. +) Với k = 2, x3 = , được biểu diễn bởi điểm M3. +) Với k = 3, x4 = π, được biểu diễn bởi điểm M4. +) Với k = 4, x5 = , được biểu diễn bởi điểm M5. +) Với k = 5, x6 = , được biểu diễn bởi điểm M6. Câu 9. Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = −750°. Lời giải. Ta có: x = −750° = −30 − 2⋅360°. Vậy điểm diễn góc −750° trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −30°. Lại có: . Ta chia đường tròn thành 12 phần bằng nhau. Chú ý góc −30° nằm dưới trục Ox. Khi đó điểm M biểu diễn cung lượng giác −750°. Câu 10. Biểu diễn cung lượng giác có số đo . Lời giải. Ta có: . Ta chia đường tròn thành 3 phần bằng nhau. Khi đó điểm M biểu diễn cung lượng giác . Câu 11. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo +) Với k = 0, x1 = , được biểu diễn bởi điểm M1. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm M2. Câu 12. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 4 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x. +) Với k = 0, x1 = , được biểu diễn bởi điểm M1. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm M2. +) Với k = 2, x3 = , được biểu diễn bởi điểm M3. +) Với k = 3, x4 = , được biểu diễn bởi điểm M4. Câu 13. Biểu diễn cung lượng giác có số đo với k là số nguyên tùy ý. Lời giải. Ta có: . Vậy có 6 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x. +) Với k = 0, x1 = , được biểu diễn bởi điểm M1. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm M2. +) Với k = 2, x3 = , được biểu diễn bởi điểm B. +) Với k = 3, x4 = , được biểu diễn bởi điểm M3. +) Với k = 4, x5 = , được biểu diễn bởi điểm M4. +) Với k = 5, x6 = , được biểu diễn bởi điểm B’. Câu 14. Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo x = kπ và y = k2π lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu? Lời giải. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x. +) Với k = 0, x1 = 0, được biểu diễn bởi điểm A. +) Với k = 1, x2 = π được biểu diễn bởi điểm A’. Ta có: y = k2π. Vậy có 1 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y. Với k = 0, y = 0, được biểu diễn bởi điểm A. Vậy số điểm chung nhận được là 1 điểm chung. Câu 15. Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo và lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu? Lời giải. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x. +) Với k = 0, x1 = , được biểu diễn bởi điểm B. +) Với k = 1, x2 = , được biểu diễn bởi điểm B’. Ta có: . Vậy có 1 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y. Với k = 0, y = , được biểu diễn bởi điểm B. Vậy số điểm chung nhận được là 1 điểm chung. Câu 16. Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo và lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu? Lời giải. Ta có: . Vậy có 4 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x. +) Với k = 0, x1 = , được biểu diễn bởi điểm M1. +) Với k = 1, x2 = được biểu diễn bởi điểm M2. +) Với k = 1, x3 = được biểu diễn bởi điểm M3. +) Với k = 1, x4 = được biểu diễn bởi điểm M4. Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y. Với k = 0, y1 = , được biểu diễn bởi điểm N1. Với k = 1, y2 = được biểu diễn bởi điểm N2. Vậy số điểm chung nhận được là 2 điểm chung. Câu 17. Tìm tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo không trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y = kπ. Lời giải. Ta có: . Vậy có 8 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x, lần lượt biểu diễn các cung lượng giác có số đo Ta có: . Vậy có 2 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y, lần lượt biểu diễn các cung lượng giác có số đo Vậy có 6 điểm thỏa mãn ycbt. Câu 18. Tìm tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo không trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo . Lời giải. Ta có: . Vậy có 6 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x, lần lượt biểu diễn các cung lượng giác có số đo . Ta có: Vậy có 3 điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y, lần lượt biểu diễn các cung lượng giác có số đo . Vậy có 4 điểm thỏa mãn ycbt. Bài tập tổng hợpCâu 1. Chứng minh:
Lời giải.
Vậy hai góc đã cho có cùng tia cuối.
Vậy 645° và −435° có cùng tia cuối. Câu 2. Coi kim giờ đồng hồ là tia Ou, kim phút đồng hồ là tia Ov. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, 4 giờ, 9 giờ, 11 giờ. Lời giải. Khi đồng hồ chỉ 3 giờ, ta có: sđ Khi đồng hồ 4 giờ, ta có: sđ Khi đồng hồ 9 giờ, ta có: sđ Khi đồng hồ 11 giờ, ta có: sđ Câu 3. Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α. Tìm số đo góc hình học trong các trường hợp sau:
Lời giải. Trước hết ta cần nhớ 0° ≤ ≤ 180° và
Nên \= 165°. Vậy Câu 4. Cho đường tròn đường kính 20cm. Tìm số đo bằng độ và rad các cung có độ dài lần lượt là 9cm, 37cm. Lời giải. Gọi R là bán kính đường tròn, khi đó suy ra R = 10cm. +) Với cung có độ dài 9cm, ta có: +) Với cung có độ dài 37cm, ta có: Câu 5. Trên đường tròn lượng giác cho các cung có số đo theo thứ tự là . Hỏi trong các cung trên những cung nào có cùng điểm cuối? Lời giải. Trước hết ta thấy hai cung có số đo α và β gọi là có chung gốc và chung ngọn khi và chỉ khi α = β + k2π ⇔ α − β = 2kπ. Tức là hai cung lượng giác có chung điểm gốc và điểm ngọn khi và chỉ khi chúng hơn kém nhau bội của 2π (bội của 360°). Ta có: Như vậy bằng cách tính hiệu số của từng cặp ta thấy chỉ có cung −60° và cung là có chung điểm đầu và điểm cuối. Câu 6. Cho góc lượng giác (OC; OD) = 405° + k360°. Tìm tất cả các góc có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho và có số đo với giá tri tuyệt đối không quá 1200°. Lời giải. Gọi α là góc cần tìm. Theo bài ra: α ≤ |1200°| ⇔ −1200° ≤ 405° + k360° ≤ 1200° ⇒ ≤ k ≤ ⇒ k ∈ {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2}. Vậy các góc cần tìm theo thứ tự là: −1035; −675; −315; 45; 405; 765; 1125. Câu 7. Xác định điểm cuối của cung lượng giác nằm trong góc phần tư nào của mặt phẳng tọa độ trong các trường hợp sau:
Lời giải.
Vậy điểm M nằm trong cung phần tư thứ II
Vậy điểm M nằm tại góc phần tư thứ IV. Câu 8. Hiện tại đồng hồ chỉ 8 giờ đúng. Nếu đồng hồ chạy bình thường thì sau bao nhiêu lâu lần đầu tiên kim giờ OG và kim phút OP tạo thành góc lượng giác (OG; OP) = 180°? Lời giải. Một giờ kim phút quét nên góc 360°, kim giờ quét nên góc . Như vậy một giờ kim phút OP vạch một góc lớn hơn kim giờ 330°. Hiện tại 8 giờ đúng tức là (OG; OP) = 120°. Gọi t là thời gian (giờ) để hai kim tạo thành một góc 180° lần đầu tiên, khi đó: giờ Câu 9. Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là 165cm và 225cm. Hỏi trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét ? Lời giải. Một giờ (60 phút) kim phút quét nên góc 360°, kim giờ quét nên góc Như vậy trong 40 phút đầu kim phút vạch một góc , kim giờ vạch nên một góc . Từ đó suy ra độ dài cung tròn mà kim phút và kim giờ đã vạch trong 40 phút đầu lần lượt là: Câu 10. Một bánh xe có bán kính R = 2,4m quay một góc bằng 30°. Tính độ dài đường đi của một điểm trên vành bánh xe. |
