- LG a
- LG b
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[u_1\] = 1 và un + 1= 5un+ 8 với mọi n 1.
LG a
Chứng minh rằng dãy số [vn], với vn= un+ 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Phương pháp giải:
Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện \[v_{n+1}\] và \[v_n\]
Lời giải chi tiết:
Với mọi n 1, ta có :
\[{u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8\]
\[\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10 \]
\[\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left[ {{u_n} + 2} \right] \]
\[\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}\]
Do đó [vn] là một cấp số nhân với số hạng đầu \[{v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\]và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát : \[{v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\]
LG b
Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số [un].
Phương pháp giải:
Sử dụng mối quan hệ giữa \[v_n\] và \[u_n\] kết hợp với số hạng TQ đã tìm được ở câu a để suy ra \[u_n\].
Lời giải chi tiết:
\[{v_n} = {u_n} + 2 \]
\[\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\] với mọi \[n 1\]