- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
LG a
\[\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.\]
\[\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 - {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx \] \[= \left. {\left[ {{{{x^6}} \over 6}\ln x - {{{x^6}} \over {36}}} \right]} \right|_1^2 \]
\[ = \left[ {\dfrac{{64}}{6}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\ln 1} \right] - \dfrac{1}{6}.\left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2\] \[ = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\left[ {\dfrac{{64}}{6} - \dfrac{1}{6}} \right]\] \[ = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{4}\]
LG b
\[\int\limits_0^1 {\left[ {x + 1} \right]} {e^x}dx;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x + 1 \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
\[\int\limits_0^1 {\left[ {x + 1} \right]} {e^x}dx \] \[= \left. {\left[ {x + 1} \right]{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx } \] \[= 2e - 1 - \left. {{e^x}} \right|_0^1\] \[ = 2e - 1 - \left[ {e - 1} \right] = e\]
LG c
\[\int\limits_0^\pi {{e^x}} \cos xdx;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[I = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx} \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \] \[= {e^\pi }\sin \pi - {e^0}\sin 0 - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin xdx} \] \[ = 0 - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin xdx} \]\[= - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[I = - \left[ {\left. {\left[ { - {e^x}\cos x} \right]} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx} } \right] \] \[= {e^\pi }\cos \pi - {e^0}.\cos 0 - I\]
\[ \Rightarrow 2I = - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I = - {1 \over 2}\left[ {{e^\pi } + 1} \right]\]
LG d
\[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos xdx.} \]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos xdx }\]
\[ = \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \] \[ = \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2} - 0 + \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\] \[ = \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \cos 0 = \frac{\pi }{2} - 1\]