Đề bài
Các số \[x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số \[x 1, y + 2, x 3y\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất CSC:\[{u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\]
Tính chất CSN:\[{u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2\]
- Lập hệ phương trình ẩn x, y.
- Giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì các số \[x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên :
\[2\left[ {5x + 2y} \right] = \left[ {x + 6y} \right] + \left[ {8x + y} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 10x + 4y = 9x + 7y\]
\[\Leftrightarrow x = 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Vì các số \[x 1, y + 2, x 3y\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên :
\[{\left[ {y + 2} \right]^2} = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3y} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Thế [1] vào [2], ta được:
\[{\left[ {y + 2} \right]^2} = \left[ {3y - 1} \right]\left[ {3y - 3} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {y + 2} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow y = - 2.\]
Từ đó \[x = -6\].