Đề bài - đề số 15 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 8

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm):

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\)

a) Tìm điều kiện củaxđểPcó nghĩa và rút gọnP.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP.

c) Tìm các số nguyênxđể \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Câu 2 (2điểm):

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(A\left( x \right) = 2{x^2} + x - 3\)

\(B\left( {a;b;c} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc\)

Câu 3 (1điểm):

Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + ax + b\)và \(Q\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Xác định các hệ sốa, bsao cho với mọi giá trị củaxthì \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\).

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho hình thoiABCDcó gócDbằng \({60^o}\). GọiE, H, G, Flần lượt là trung điểm củaAB, BC, CDvàDA.

a) Chứng minh tứ giácEFGHlà hình chữ nhật.

b) ChoAGcắtHFtạiJ. Chứng minh rằng \(HF = 4FJ\).

c) GọiIlà trung điểm củaFJvàPlà giao điểm củaEHvàDB. Chứng minhIGvuông góc vớiIP.

d) Cho \(AB = 2cm\). Tính độ dàiIP.

Câu 5 (1 điểm):

a) Cho ba sốa, b, cthỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 2017\) và \(abc = 2017\).

Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {{b^2}c + 2017} \right)\left( {{c^2}a + 2017} \right)\left( {{a^2}b + 2017} \right)\).

b) (Dành riêng cho lớp 8A) Tìm các số tự nhiênx, nsao cho số \(p = {x^4} + {2^{4n + 2}}\) là một số nguyên tố.

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điều kiện củaxđểPcó nghĩa và rút gọnP.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\8 - {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 2\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{x^3} - 8}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\dfrac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {{x^2} - 4} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2} + x + 2.\end{array}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP.

\(P = {x^2} + x + 2 = \left( {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{7}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4}\)với mọi \(x \ne \pm 2\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\)

Vậy \({\min _P} = \dfrac{7}{4}\) đạt được khi \(x = - \dfrac{1}{2}\)

c) Tìm các số nguyênxđể \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia trên phải có số dư là 0 \( \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Vậy \(x = - 1.\)

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(A\left( x \right) = 2{x^2} + x - 3 = 2{x^2} + 3x - 2x - 3 = x\left( {2x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}B\left( {a;b;c} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc = \left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\left( {c + a} \right) + abc\\ = abc + {a^2}b + a{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + a{b^2} + b{c^2} + abc + abc\\ = \left( {{a^2}b + abc + {a^2}c} \right) + \left( {a{b^2} + {b^2}c + abc} \right) + \left( {abc + b{c^2} + a{c^2}} \right)\\ = a(ab + bc + ca) + b(ab + bc + ca) + c(ab + bc + ca)\\ = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca)\end{array}\)

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + ax + b\) và \(Q\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Xác định các hệ sốa, bsao cho với mọi giá trị củaxthì \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\).

Để \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\) với mọi giá trị củax\( \Leftrightarrow \left( {a + 7} \right)x + b - 6 = 0\)với mọi giá trị củax

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 7 = 0\\b - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = 6\end{array} \right.\)

Vậy với \(a = - 7\) và \(b = 6\) thì \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\) với mọi giá trị củax.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho hình thoiABCDcó gócDbằng \({60^o}\). GọiE, H, G, Flần lượt là trung điểm củaAB, BC, CDvàDA.

a) Chứng minh tứ giácEFGHlà hình chữ nhật.

Ta cóABCDlà hình thoi \( \Rightarrow AC \bot BD\) (tính chất) (1)

CóE, Flần lượt là trung điểm củaABvàDA(gt)

\( \Rightarrow \)EFlà đường trung bình trong tam giácABD\( \Rightarrow \)EF//BD (2)

CóF, Glần lượt là trung điểm củaADvàCD(gt)

\( \Rightarrow \)FGlà đường trung bình trong tam giácDAC\( \Rightarrow \)FG//AC (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow EF \bot FG\) (từ vuông góc đến song song)

Tương tự \( \Rightarrow FG \bot GH\,\,;\,\,GH \bot HE\,\,;\,\,HE \bot EF\)

\( \Rightarrow \)EFGHlà hình chữ nhật (dhnb)

b) ChoAGcắtHFtạiJ. Chứng minh rằng \(HF = 4FJ\).

Ta cóF, Hlần lượt là trung điểm củaADvàBC

\( \Rightarrow \)FHlà đường trung bình của hình thoiABCD\( \Rightarrow \)FH//AB//CDvà \(FH = AB = CD\)

Xét tam giácADGcóFlà trung điểm củaAD,FJ//DG(FH//CD)

\( \Rightarrow \)Jlà trung điểm củaAG\( \Rightarrow \)FJlà đường trung bình trong tam giácADG

\( \Rightarrow FJ = \dfrac{1}{2}DG = \dfrac{1}{4}CD = \dfrac{1}{4}HF\)(doGlà trung điểm củaCDnên \(DG = \dfrac{1}{2}CD\))

\( \Rightarrow HF = 4FJ\) (đpcm)

c) GọiIlà trung điểm củaFJvàPlà giao điểm củaEHvàDH. Chứng minhIGvuông góc vớiIP.

GọiACcắtBDtạiO\( \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}BD\,\,;\,\,OC = OA = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất)

Xét tam giácACDcó \(DA = DC\) (ABCDlà hình thoi), \(\angle D = {60^o}\) (gt)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ACD\) đều (dhnb) \( \Rightarrow AC = CD\,\)\(;\,\,DO = AG\)(tính chất)

\( \Rightarrow AG\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao \( \Rightarrow AG \bot CD \Rightarrow AG \bot HF\) (từ vuông góc đến song song)

GọiFGcắtBDtạiM

Xét tam giácODAcóFlà trung điểm củaAD,FM//OA(FG//AC)

\( \Rightarrow \)Mlà trung điểm củaOD\( \Rightarrow \)FMlà đường trung bình trong tam giácODA\( \Rightarrow FM = \dfrac{1}{2}OA\)

Tương tự ta cũng được \(GM = \dfrac{1}{2}OC\) mà \(OA = OC\) (cmt) \( \Rightarrow FM = GM\)

\( \Rightarrow \)Mlà trung điểm củaFG

\( \Rightarrow \)IMlà đường trung bình trong tam giácFJG

\( \Rightarrow \)IM//AGmà \(AG \bot HF\) (cmt)\( \Rightarrow IM \bot HF\)

GọiPGcắtMHtạiK.

Dễ thấyPHGMlà hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

\( \Rightarrow \)Klà trung điểm củaPGvàHM; \(HM = PG\)

Có tam giácIMHvuông tạiI(\(IM \bot HF\)) cóKlà trung điểm củaHM

\( \Rightarrow \)\(KI = \dfrac{1}{2}HM = \dfrac{1}{2}PG\)

\( \Rightarrow \) Tam giácPIGvuông tạiI\( \Rightarrow \)\(IG \bot IP\) (đpcm)

d) Cho \(AB = 2cm\). Tính độ dàiIP.

Ta cóABCDlà hình thoi cóHFlà đường trung bình và\(\Delta ACD\) đều

\( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = AC = HF = 2cm\)

\( \Rightarrow AG = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 cm \Rightarrow GJ = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}cm\) (Jlà trung điểm củaAG)

\(OC = OA = \dfrac{1}{2}AC = 1cm\) ; \(FG = EH = \dfrac{1}{2}AC = 1cm\)

\(OD = AG = \sqrt 3 cm \Rightarrow EF = GH = OD = \dfrac{1}{2}BD = \sqrt 3 cm\)

\(IJ = \dfrac{1}{2}FJ = \dfrac{1}{8}HF = \dfrac{1}{4}cm\) ; \(PH = MG = \dfrac{1}{2}FG = \dfrac{1}{2}cm\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giácGJIvuông tạiJta được:

\(IG = \sqrt {I{J^2} + G{J^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{{16}} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giácHPGvuông tạiHta được:

\(PG = \sqrt {P{H^2} + G{H^2}} = \sqrt {\dfrac{1}{4} + 3} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giácPIGvuông tạiIta được:

\(IP = \sqrt {P{G^2} - I{G^2}} = \sqrt {\dfrac{{13}}{4} - \dfrac{{13}}{{16}}} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{4}\left( {cm} \right)\)

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

a) Cho ba sốa, b, cthỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 2017\) và \(abc = 2017\).

Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {{b^2}c + 2017} \right)\left( {{c^2}a + 2017} \right)\left( {{a^2}b + 2017} \right)\).

Theo câu 2 ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca) - abc = 2017 - 2017 = 0\\P = \left( {{b^2}c + 2017} \right)\left( {{c^2}a + 2017} \right)\left( {{a^2}b + 2017} \right)\\\;\;\; = \left( {{b^2}c + abc} \right)\left( {{c^2}a + abc} \right)\left( {{a^2}b + abc} \right)\\\;\;\; = bc\left( {c + a} \right)ca\left( {c + b} \right)ab\left( {a + c} \right)\\\;\;\; = {a^2}{b^2}{c^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0.\end{array}\)

b) (Dành riêng cho lớp 8A) Tìm các số tự nhiênx, nsao cho số \(p = {x^4} + {2^{4n + 2}}\) là một số nguyên tố.

\(\begin{array}{l}p = {x^4} + {2^{4n + 2}} = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}{.2^{2n + 1}} + {\left( {{2^{2n + 1}}} \right)^2} - 2.{x^2}{.2^{2n + 1}}\\\;\;\; = {\left( {{x^2} + {2^{2n + 1}}} \right)^2} - {x^2}{.2^{2n + 2}}\\\;\;\; = \left( {{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{{.2}^{n + 1}}} \right)\left( {{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{{.2}^{n + 1}}} \right).\end{array}\)

Với mọi số tự nhiênx, n\( \Rightarrow {2^{2n + 1}} \ge {2^1} = 2 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} \ge 2\)

Với mọi số tự nhiênx, n\( \Rightarrow {2^{2n}}\) \( \ge 1 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = {x^2} - 2x{.2^n} + {2^{2n}} + {2^{2n}} = {\left( {x - {2^n}} \right)^2} + {2^{2n}} \ge 1\)

Đểplà một số nguyên tố \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = 1\\{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2n + 1}} = 2\\x - {2^n} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 = 1\\x = {2^n}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\x = {2^0} = 1\end{array} \right..\)

Vậy với \(n = 0\)và \(x = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com