Các cách chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Định nghĩa về đường trung trực lớp 7 các bạn đã được học. Vậy các bạn đã nhớ được hết tất cả các tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực của tam giác, các dạng toán thường gặp và cách giải các bài tập về đường trung trực chưa? Dưới đây, chúng tôi đã hệ thống hóa lại kiến thức đường trung trực là gì và các bài toán bổ trợ. Cùng đọc và tham khảo nhé! Show
Đường trung trực là gì?Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Cụ thể: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB cắt AB tại trung điểm I.
Tính chất đường trung trựcTính chất đường trung trực của một đoạn thẳngĐường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó Định lý đảo: Tập hợp các điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó Tính chất ba đường trung trực của tam giácTrong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này Đường trung trực đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác cânΔABC cân tại A.Có AM là trung trực của BC Suy ra AM cũng là trung tuyến của BC. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác đó O là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giácO là giao điểm các đường trung trực của ABC, ta có OA=OB=OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 6 dạng bài tập về đường trung trực và phương pháp giảiDạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳngPhương pháp:
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhauPhương pháp:
Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhấtPhương pháp:
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácPhương pháp:
Dạng 5: Bài toán đường trung trực trong tam giác cânPhương pháp:
Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuôngPhương pháp:
Hướng dẫn cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB Xem thêm:Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Chia sẻ một số bài tập về đường trung trực (có lời giải)Bài 1: Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MHAB. Trên đoạn MH lấy điểm P, gọi E là giao điểm của MB với AP. Gọi F là giao điểm của BP với MA
Bài giải a. Xét ΔMAH và ΔMBH có HA=HB (H là trung trực của AB) b. +) Lấy E MB sao cho MF=ME Xét ΔFMP và ΔEMP có MF=ME (cạnh lấy điểm E) góc FMP = góc EMP( do góc AMH= góc BMH) MP cạnh chung Nên ΔFMP = ΔEMP (c-g-c) Suy ra góc FPM= góc EPM (1) +) Gọi giao điểm của EF và MH là K Ta lại có ΔPHA = ΔPHB (c-g-c) Suy ra góc APH = góc BPH Mà góc APH = góc EPM (đối đỉnh) và góc BPH = góc FPM (đối đỉnh) Suy ra góc EPM = góc FPM (2) Từ (1) và (2) suy ra góc EPM= góc EPM hay E trùng với E Do đó MF=ME (3) Lại có PF=PE (ΔFMP = ΔEMP) Nên PF=PE (4) (Do E trùng E) Từ (1)(2)(3)(4) suy ra MH là trung trực của đoạn thẳng EF c, AF= AM FM; BE= BM EM Mà AM = BM (vì M thuộc trung trực AB) FM = EM(cmt) Nên ta suy ra AF=BE Bài 2: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC.
Bài giải: a) Gọi H là giao điểm của a với AC MHA = MHC (c.g.c) => MA = MC. Do đó: MA + MB = MC + MB. Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC (chứng minh được NA = NC). Nếu M không trùng với N thì: MA + MB = MC + MB > BC (bất đẳng thức trong BMC). Nếu M trùng với N thì : MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC. Vậy MA + MB BC. b) Từ câu a) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng BDE = CDE. Bài giải: D thuộc đường trung trực của BC => DB = DC. E thuộc đường trung trực của BC => EB = EC. BDE = CDE (c.c.c) Tham khảo một số bài toán về đường trung trực Tự giảiBài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường trung tuyến CN và BM cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của B và C cắt nhau tại O. Hai đường trung trực của 2 cạnh AB, AC cắt nhau tại K.
Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy 2 điểm M và N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.
Bài 3: Cho góc xOy = 50º, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là trung trực của AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của AM.
Bài 4: Cho 2 điểm A, B nằm trên cùng mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC và AC cắt d tại E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.
Bài 5: Cho ΔABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.
Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường trung trực của AC cắt BC tại I , cắt AC tại E.
Xem thêm:Hình thang là gì? Công thức tính chu vi, diện tích hình thang vuông, cân
Trên đây là khái niệm đường trung trực là gì cùng các dạng bài tập về đường trung trực của tam giác thường, tam giác cân. Các tính chất của đường trung trực được ứng dụng rất nhiều vào việc giải các bài toán hình. Đây được coi như công cụ hữu ích mà nếu bạn ghi nhớ và hiểu các định lý, tính chất ấy, bạn sẽ trở nên giỏi hơn trong phân môn hình học. Hãy áp dụng các kiến thức vừa được cung cấp và tự giải các bài tập để thành thạo hơn nhé! |