Bài 2 phương trình elip 10 bài tập năm 2024

Để giúp các bạn học sinh giải bài tập Toán 10 một cách nhanh và chính xác, VnDoc.com đã tổng hợp bộ câu hỏi bài tập kèm theo lời giải chi tiết. Lời giải bài tập Toán 10 Hình học này sẽ giúp các bạn học sinh ôn luyện một cách hiệu quả. Mời các bạn học sinh và thầy cô tham khảo tài liệu: Giải bài tập Hình học 10 bài 4: Phương trình đường elip.

Giải bài tập Hình học 10 bài 4: Phương trình đường elip

Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10): Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:

Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10): Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a, Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.

b, Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải

Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10): Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

Lời giải

Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10): Để một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ hình elip trên tấm ván ép như hình dưới. Hỏi phải ghìm hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải

Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10): Cho hai đường tròn C1(F1,R1) và C2(F2,R2) . C1 nằm trong C2 và F1 ≠F2 . Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

• A \({c^2} = {a^2} + {b^2}\).
• B \({b^2} = {a^2} + {c^2}\).
• C \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
• D \(c = a + b\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) với \(2c\) là tiêu cự của (E).

Lời giải chi tiết:

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Đáp án: C

Đáp án - Lời giải

Lý thuyết phương trình đường elip là phần rất quan trọng và là cơ sở để giải bài tập. Để nắm chắc nội dung phần này, các em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé!

1. Định nghĩa phương trình đường elip lớp 10

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.

Trong đó các điểm $F_{1},F_{2}$ gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của đường elip

Cho elip có tiêu điểm $F_{1},F_{2}$ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_{1}(-c;0)$ và $F_{2}(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được:

$M\left ( x;y \right )\epsilon$ elip $\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (1)

Trong đó: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip.

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E)?

Giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a,b > 0).

Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a = 12 => a = 6

Ta có độ bé bằng 6 nên 2b = 6 => b = 3

Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Đăng ký ngay để nhận bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia

3. Thành phần và hình dạng của elip

Với elip (E) có phương trình (1):

Nếu điểm M(x;y) thuộc (E) thì các điểm $M_{1}$(-x;y), $M_{2}$=(x;-y) cũng thuộc (E).

Vậy (E) có:

+ Các trục đối xứng: Ox, Oy

+ Tâm đối xứng là gốc O

Thay y = 0 vào (1) ta có $x=\pm a$, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm $A_{1}$=(-a;0) và $A_{2}=(a;0)$.

Tương tự thay x=0 vào (1) ta được y=b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm $B_{1}=(0;-a),B_{2}=(a;0)$.

Các điểm $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}$ gọi là các đỉnh của elip.

Trong đó đoạn thẳng $A_{1},A_{2}$ là trục lớn, đoạn thẳng $B_{1},B_{2}$ là trục nhỏ của elip.

Ví dụ: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Giải:

Vì phương trình đường elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$\left\{\begin{matrix}a^{2}=25\\ b^{2}=9\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=5\\ b=3\end{matrix}\right.$

$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$

Vậy (E) có:

- Trục lớn : $A_{1}A_{2}$ = 2a =10

- Trục nhỏ : $B_{1}B_{2}$ = 2b = 6

- Hai tiêu điểm: $F_{1}$(- 4;0), $F_{2}$(4;0)

- Bốn đỉnh: $A_{1}$(- 5;0), $A_{2}$(5;0), $B_{1}$(0;– 3), $B_{2}$(0;3).

4. Các dạng bài tập về phương trình đường elip

Câu 1: Cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ và điểm M nằm trên (E). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có $a^{2}=16,b^{2}=12$

nên $c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$ $\Rightarrow a=4;c=2$ và hai tiêu điểm $F_{1}$(-2; 0); $F_{2}$(2;0)

Điểm M thuộc (E) và $x_{M}=1\Rightarrow y_{M}\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Tâm sai của elip $e=\frac{c}{a}\Rightarrow e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow MF_{1}=a+ex_{M}=4+0.5=4.5$ $MF_{2}=a-ex_{M}=4-0.5=3.5$

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2\sqrt{5}$.

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0

Tâm sai $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow c^{2}=\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$.

Độ dài đường chéo hình chữ nhật $\sqrt{\left ( 2a \right )^{{2}+\left ( 2b \right )}{2}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=5\Leftrightarrow b^{2}=5-a^{2}$

Khi đó: $a^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow a^{2}=5-a^{2}+\frac{a^{2}}{3}\Leftrightarrow a^{2}=3\Rightarrow b^{2}=2$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn nắm chắc kiến thức 10 - 11

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1},F_{2}$, với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$ và có một điểm M thuộc (E) để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S=1.

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0

Với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$, suy ra $c=\sqrt{3}$ => $a^{2}-b^{2}-c^{2}=3$ hay $a^{2}=b^{2}+3$ (1)

Gọi $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$ $\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \vec{MF_{1}}=\left ( -\sqrt{3}-x_{0};-y_{0}\right )\\ \vec{MF_{2}}=\left ( \sqrt{3} -x_{0};-y_{0}\right )\end{matrix}\right.$

Khi đó: $\widehat{F_{1}MF_{2}}=90^{\circ}$ $\Leftrightarrow \overline{MF_{1}}.\overline{MF_{2}}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}^{2}-3+y_{0}{2}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}{2}=3$

Ta có: $S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}d(M,Ox).F_{1}F_{2}=\frac{1}{2}\left | y_{0} \right |.2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left | y_{0} \right |=1$ $\Leftrightarrow y_{0}^{{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow x_{0}}{2}=\frac{8}{3}$

Mặt khác $M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)$ $\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b{2}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{8}{3a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}=1$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được: $\frac{8}{3(b^{2}+3)}+\frac{1}{3b^{2}}=1\Leftrightarrow 3b^{4}=3\Leftrightarrow b=1$ (do b>0) $\Rightarrow a^{2}=4$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}=8$. Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip (E).

Giải:

Ta có phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

- (E) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2a = 8 => a = 4.

- (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.

Ta giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác Δ: y = x.

- Gọi $A(t;t)\epsilon \Delta $ (t > 0). Ta có: $A\epsilon(C)\Rightarrow t^{2}+t^{2}=8\Leftrightarrow t=2$ (vì t > 0) => A(2;2)

- Mà $A\epsilon(E)\Rightarrow \frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow b^{2}=\frac{16}{3}$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{\frac{16}{3}}=1$

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}(\sqrt{3};0)$ và đi qua điểm $A(\sqrt{3};\frac{1}{2})$. Hãy lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M thuộc (E), hãy tính giá trị biểu thức: $P=MF_{1}^{2}+MF_{2}{2}-3OM^{2}-MF_{1}MF_{2}$.

Giải:

- Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a>b>0

(E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}\left ( \sqrt{3};0\right )$ suy ra $c=\sqrt{3}$

- Khi đó a² - b² = c² = 3 ⇔ a² = b² +3 => (E): $\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

- Với $A\left ( \sqrt{3};\frac{1}{2}\right )\epsilon (E)$ ⇔ $\frac{3}{b^{2}+3}+\frac{1}{4b^{2}}=1$ ⇔ $4b^{2}-b^{2}-3=0\Leftrightarrow \left ( 4b^{2}+3\right )\left ( b^{2}-1 \right )=0$ $\Leftrightarrow b^{2}=1\Rightarrow a^{2}=4$

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

$M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)\Rightarrow\left\{\begin{matrix} MF_{1}=a+\frac{c}{a}x_{0};MF_{2}=a-\frac{c}{a}x_{0}\\OM^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}{2};\frac{x_{0}^{{2}}{4}+y_{0}}{2}=1\end{matrix}\right.$

Khi đó:

P = $\left ( a+\frac{c}{a}x_{0} \right )^{{2}+\left ( a-\frac{c}{a}x_{0} \right )}{2}-3(x_{0}^{2}+y_{0}{2})-(a+\frac{c}{a}x_{0})(a-\frac{c}{a}x_{0})$

\= $x^{2}+\frac{3c^{2}}{a^{2}}x_{0}^{2}-3(x_{0}{2}+y_{0}^{2})$

\= $4+\frac{9}{4}x_{0}^{2}-3(x_{0}{2}+y_{0}^{2})$

\= $4-3(\frac{x_{0}^{{2}}{4}+y_{0}}{2})$

\= 4-3=1

Vậy P = 1

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập về phương trình đường elip. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!