Bài 1 trang 54 sbt hình học 12 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng tam giácACDvuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm củaCD, doBC = BD = anên \(BI \bot CD.\)

Mặt khác \(mp\left( {BCD} \right) \bot mp\left( {ACD} \right)\) nên \(BI \bot mp(ACD).\)

Xét các tam giác vuôngAIBvàDIBcó cạnh góc vuôngBIchung,BA = BD, từ đóAI = ID.

VậyACDlà tam giác vuông tạiA.

LG b

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD.

Lời giải chi tiết:

Từ chứng minh trên, ta thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCDthuộcBI, do đó, bán kính mặt cầu phải tìm chính là bán kínhRcủa đường tròn ngoại tiếp tam giácBCD.

Dễ thấyCB2=BI.BB=2R.BI, tức là \(R = {{{a^2}} \over {2BI}}.\)

Mặt khác

\(\eqalign{ & B{I^2} = B{C^2} - {{C{D^2}} \over 4} = {a^2} - {{{a^2} + {b^2}} \over 4} = {{3{a^2} - {b^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow BI = {1 \over 2}\sqrt {3{a^2} - {b^2}} ,0 < b < a\sqrt 3 . \cr} \)

Như vậy \(R = {{{a^2}} \over {\sqrt {3{a^2} - {b^2}} }}\)

Do đó diện tích mặt cầu phải tìm bằng \({{4\pi {a^4}} \over {3{a^2} - {b^2}}}\) với \(0 < b < a\sqrt 3 \).