Bài tập giải phương trình bằng phương pháp chia đôi năm 2024

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 (1) với f(x) là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó

Những vấn đề khó khăn khi giải pt(1) f(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0,(an ≠ 0), với n = 1, 2 ta có công thức tính nghiệm một cách đơn giản. Với n = 3, 4 thì công thức tìm nghiệm cũng khá phức tạp. Còn với n > 5 thì không có công thức tìm nghiệm. Mặt khác, khi f(x) = 0 là phương trình siêu việt, ví dụ: cos x − 5x = 0 thì không có công thức tìm nghiệm. Những hệ số của phương trình(1) ta chỉ biết một cách gần đúng.

Khi đó việc xác định chính xác nghiệm của phương trình(1) không cóý nghĩa. Do đó việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình(1) cũng như đánh giá mức độ chính xác của nghiệm gần đúng tìm được có một vai trò quan trọng.

Định nghĩa: Khoảng đóng [a, b](hoặc khoảng mở(a, b)) mà trên đó tồn tại duy nhất 1 nghiệm của phương trình(1) được gọi là khoảng cách ly nghiệm.

Việc tính nghiệm thực gần đúng của phương trình(1) được tiến hành theo 2 bước sau:

• Tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm của phương trình(1).
• Trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước.

Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trong(a, b) và f(a).f(b) < 0, f 0(x) tồn tại và giữ dấu không đổi trong(a, b) thì trong(a, b) chỉ có 1 nghiệm thực ξ duy nhất của phương trình(1).

Ví dụ Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = x3 − 3x + 1 = 0

Giải. Ta có f'(x) = 3x2 − 3 = 0 ↔ x = ±1

Phương trình có nghiệm nằm trong các khoảng [−2, −1]; [−1, 1]; [1, 2].

Ví dụ Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = x5 + x − 12 = 0

Giải. Ta có f'(x) = 5x4 + 1 > 0, ∀x nên f(x) đơn điệu tăng. Mặt khác, f(0) < 0, f(2) > 0 nên f(x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm trong [0, 2].

Ví dụ Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = x2 − sin πx = 0. Giải. f(x) = 0 ⇔ x2 = sin πx. Vẽ đồ thị 2 hàm y = x2 và y = sin πx.

Phương trình có 1 nghiệm x = 0 và 1 nghiệm nằm trong đoạn [1/2,1] . Vậy khoảng cách ly nghiệm của f(x) = 0 là [− 1/2 , 1/2 ]; [ 1/2 , 1].

Sai số tổng quát

Định lý

Phương pháp chia đôi

Nội dung phương pháp

Giả sử(a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình(1). Nội dung của phương pháp chia đôi như sau:

Ưu điểm. Đơn giản, dễ lập trình trên máy tính, vì mỗi lầnáp dụng phương pháp chia đôi chỉ phải tính 1 giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng. Nhược điểm. Tốc độ hội tụ chậm, độ chính xác không cao.

Ví dụ Cho phương trình f(x) = 5x3 − cos 3x = 0 trong khoảng ly nghiệm [0, 1]. Bằng phương pháp chia đôi, hãy tìm nghiệm gần đúng x 5 và đánh giá sai số của nó.

Bài 1. Cho phương trình f(x) = 3x3 − 12x2 + 14x − 22 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [3, 4]. Tìm nghiệm gần đúng x5 của phương trình theo phương pháp chia đôi Đáp số: x5 ≈ 3.2656

Bài 2. Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúngở lần lặp thứ 5(x 5 ) của phương trình f(x) = √x − cos x = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [0, 1]. Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh với sai số tính theo công thức đánh giá sai số của phương pháp chia đôi.

Bài 3. Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 10 −2 của phương trình sau x = tan x trong khoảng cách ly nghiệm [4, 4.5]

Bài 4. Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 10 −2 của phương trình sau 2 + cos(e x − 2) − e x = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [0.5, 1.5].

Phương pháp lặp đơn

Định nghĩa Hàm g(x) được gọi là hàm co trong đoạn [a, b] nếu tồn tại một số q ∈ [0, 1), gọi là hệ số co, sao cho

∀x 1 , x 2 ∈ [a, b] ⇒ |g(x 1 ) − g(x 2 )| ≤ q|x 1 − x 2 |.

Định lý Nếu g(x) là hàm liên tục trên [a, b], khả vi trong(a, b) và ∃q ∈ [0, 1) sao cho ∀x ∈(a, b), |g '(x)| ≤ q thì g(x) là hàm co trên [a, b] với hệ số co là q.

Nội dung phương pháp Giả sử [a, b] là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nội dung của phương pháp lặp đơn là đưa phương trình này về phương trình tương đương x = g(x) sao cho g(x) là hàm co trên [a, b]. Xây dựng dãy lặp x n = g(x n−1 ), khi đó với x 0 ∈ [a, b] bất kỳ, dãy lặp sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình đã cho.

Chúý có nhiều cách đưa phương trình f(x) = 0 về dạng x = g(x). Ví dụ, đối với pt x 3 − x − 1 = 0 có thể viết

Điều quan trọng là phải chọn hàm g(x) sao cho g(x) co trên [a, b]

Nguyên lý ánh xạ co

Chú ý. Từ công thức đánh giá sai số, ta thấy sự hội tụ của phương pháp lặp càng nhanh nếu q càng bé.

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 5x 3 − 20x + 3 = 0 bằng phương pháp lặp với độ chính xác 10 −4 , biết khoảng cách ly nghiệm(0, 1).

Giải. Có nhiều cách đưa về phương trình tương đương dạng x = g(x).

Vậy nghiệm gần đúng là 0.15086 ở lần lặp thứ 5.

Hãy thực hiện bốn lần lặp cho mỗi hàm g k(x), k = 1, 2, 3, 4 xác địnhở trên với cùng giá trị lặp ban đầu x 0 = 1 và so sánh kết quả với nhau. Hàm nào cho chúng ta dãy lặp hội tụ về nghiệm tốt hơn?