Đề bài
Lấy cạnh \[BC\] của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \[BC\]. Cho biết cạnh \[BC = a\], hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính \[R\], số đo \[n^\circ \] là \[S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\]
+] Công thức tính diện tích tam giác \[S = \dfrac{1}{2}ah\] với \[a\] là độ dài cạnh đáy, \[h\] là chiều cao ứng với cạnh đáy.
+] Diện tích hình viên phân = Diện tích cung tròn \[MqB\] - Diện tích tam giác \[OMB.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[D,E\] lần lượt là giao của hai cạnh \[AB,AC\] với nửa đường tròn đường kính \[BC\] có tâm \[O\] là trung điểm \[BC.\]
Bán kính nửa đường tròn này là \[R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\]
Nối \[OE;OD.\] Xét tam giác \[OBE\] có \[OE = OB = R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\] và \[\widehat B = 60^\circ \Rightarrow \Delta OBE\] là tam giác đều cạnh \[\dfrac{a}{2}\]
Tương tự ta có \[\Delta OCD\] đều cạnh \[\dfrac{a}{2}.\]
+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là \[{S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}}\]
Diện tích hình quạt \[BOE\] có bán kính \[R = OB = \dfrac{a}{2}\] và số đo cung \[BE = \widehat {BOE} = 60^\circ \] là \[{S_{qBOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}\]
Kẻ \[EH \bot OB\] tại \[H\] suy ra \[H\] là trung điểm của \[OB\] [vì tam giác \[OEB\] đều nên \[EH\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến]. Suy ra \[OH = \dfrac{{OB}}{2} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}.\]
Xét tam giác \[EHO\] vuông tại \[H,\] theo định lý Pytago ta có \[EH = \sqrt {E{O^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]}^2} - {{\left[ {\dfrac{a}{4}} \right]}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}a\]
Diện tích tam giác \[EOB\] là \[{S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}EH.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\]
Từ đó diện tích hình viên phân thứ nhất là \[{S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]}}{{48}}\]
Tương tự ta có diện tích hình viên phân thứ hai là \[{S_2} = {S_{qDOC}} - {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{{{a^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]}}{{48}}.\]
Vậy diện tích hai hình viên phhân bên ngoài tam giác là:
\[S=S_1+S_2=\dfrac{a^{2}}{24}\left [ 2\pi -3\sqrt{3} \right ].\]