Đề bài
Cho đường tròn [O , 20cm], hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên bán kính OC, lấy điểm I sao cho \[OI = 15cm.\] Tia AI cắt đường tròn [O] ở M. Tính các độ dài MA, MB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm độ lớn của cạnh \[AI\] và góc \[AMB\].
- Chứng minh: \[\Delta AOI \backsim \Delta AMB\]
- Dùng tỉ số đồng dạng tính độ lớn \[MA;MB.\]
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác \[AOI\] vuông tại \[O,\] ta có :
\[A{I^2} = A{O^2} + O{I^2} = {20^2} + {15^2}\]\[ = 400 + 225 = 625\left[ {cm} \right].\]
Suy ra \[AI = 25cm.\]
Tam giác \[AMB\] có đường trung tuyến \[MO\] bằng \[\dfrac{1}{2}AB\] nên \[\widehat {AMB} = {90^o}.\]
Các tam giác vuông \[AOI\] và \[MAB\] có chung góc nhọn \[A\] nên \[\Delta AOI \backsim AMB\left[ {g.g} \right]\]
Suy ra
\[\dfrac{{OA}}{{MA}} = \dfrac{{AI}}{{AB}} = \dfrac{{OI}}{{MB}},\] tức là \[\dfrac{{20}}{{MA}} = \dfrac{{25}}{{40}} = \dfrac{{15}}{{MB}}.\]
Vậy \[MA = 20:\dfrac{{25}}{{40}} = 32\left[ {cm} \right],\]\[MB = 15:\dfrac{{25}}{{40}} = 24\left[ {cm} \right].\]