Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] và \[S\] là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. \[SA\] và \[SB\] lần lượt cắt đường tròn tại \[M\] và \[N\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BM\] và \[AN\]. Chứng minh rằng \[SH\] vuông góc với \[AB\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để chỉ ra các đường cao của tam giác \[SAB.\]
Sử dụng tính chất trực tâm để suy ra \[SH \bot AB.\]
Lời giải chi tiết
Vì \[M,N\] nằm trên đường tròn tâm \[O\] nên \[\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \] [ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Suy ra \[AN \bot SB\] và \[BM \bot SA.\]
Do đó, \[AN;BM\] là hai đường cao của \[\Delta SAB\] và \[H\] là giao điểm của \[AN\] và \[BM.\]
Vậy \[SH \bot AB\] vì \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]